Po co nam obowiązkowa matura z matematyki?

1. Czym jest matematyka i co się w niej bada?

Matematyka jest często postrzegana jako ezoteryczna. Wiele osób nie wie, czym tak naprawdę zajmuje się zawodowy matematyk i czy przypadkiem w matematyce nie odkryto już wszystkiego. Pierwszy problem postaram się przybliżyć poniżej, a odpowiedź na drugie pytanie brzmi: nie, matematyka jest nieskończona i nigdy wszystko nie zostanie odkryte (można to nawet udowodnić matematycznie - patrz: twierdzenie Gödla o niezupełności).

Źródłem matematyki były historycznie dwie dziedziny: geometria i teoria liczb.

Geometrię każdy z nas zna ze szkoły: liczenie pól trójkątów, kwadraty, koła i tak dalej. Problem polega na tym, że taką geometrią zajmowali się ludzie kilkaset lat temu. Obecnie przybrała formy na tyle skomplikowane, że próba dobrego jej wytłumaczenia w krótkim artykule byłaby niemożliwa. Dość powiedzieć, że współczesna geometria bada skomplikowane obiekty geometryczne, zajmując się ich kształtem i dynamiką zmian oraz szukając niezmienników, które charakteryzowałyby ogólne klasy obiektów. Kohomologie etalne, stogi, snopy, schematy – to wszystko pojęcia matematyczne.

Co innego teoria liczb, która u podstaw ma badania nad liczbami naturalnymi: 1,2,3,4,... Każda liczba naturalna daje się przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych: 2,3,5,7,11... czyli liczb, które są podzielne jedynie przez siebie i przez 1.

Liczby pierwsze i badania nad nimi wciąż – po trzech tysiącach lat rozwoju – odgrywają jedną z głównych ról we współczesnej matematyce. Są też wykorzystywane w przemyśle – to dzięki badaniom nad liczbami pierwszymi możemy bezpiecznie dokonywać zakupów w internecie, nie martwiąc się o nasze dane. Znajomość bardzo dużych liczb pierwszych pomaga w szyfrowaniu danych. Liczby są językiem ojczystym komputerów.

W matematyce zyskuje się pewność stwierdzenia, dając dowód – w uproszczeniu jest to ciąg logicznych zdań, który zaczyna się od pewników (aksjomatów) i prowadzi aż do wyprowadzenia żądanej hipotezy. Na przykład moglibyśmy zapytać, czy liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Jest to prawda; dowód jest krótki. Za to pytanie już odrobinę bardziej skomplikowane – czy istnieje nieskończenie wiele par liczb pierwszych o różnicy dwa (nazywamy takie liczby pierwsze „bliźniaczymi”), takich jak 3 i 5, 5 i 7, 11 i 13, 17 i 19 – pozostaje do dzisiaj bez odpowiedzi. Matematycy spodziewają się, że jest to prawda, ale jeszcze nikomu nie udało znaleźć się argumentu, który by to stwierdzenie uzasadniał.

Dopiero w 2013 roku Yitang Zhang dokonał przełomu, który choć jest dużym krokiem naprzód w rozumieniu bliźniaczych liczb pierwszych, to dalej nie pozwala odpowiedzieć w pełni na pytanie (fascynująca historia odkrycia była opisywana szeroko w zachodniej prasie).

Matematyka jest więc żywa. Jest wiele problemów, których matematycy nie potrafią jeszcze rozwiązać. Pojawiają się nowe odpowiedzi, ale i nowe pytania, bo każde udowodnione twierdzenie otwiera nowe możliwości.

2. Jak wyglądają badania matematyczne?

Badania w czystej, abstrakcyjnej matematyce polegają głównie na czytaniu i myśleniu.

Powiedzmy, że interesuje mnie pewien otwarty problem – jak na przykład ten, który opisałem powyżej o parach liczb pierwszych. W jaki sposób zabrałbym się do próby jego dowodu? Pierwszą czynnością byłoby dowiedzenie się wszystkiego, co było dotychczas znane o danym problemie. Czytałbym i próbował zrozumieć najnowsze artykuły matematyczne, które poruszają ten problem.

Jak już pisałem, matematycy nie potrafią go rozwiązać, więc nigdzie nie znalazłbym dowodu, a jedynie rezultaty, które mogłyby do wyniku przybliżać. Na przykład Zhang udowodnił, że istnieje pewna liczba N, taka, że jest nieskończenie wiele par liczb pierwszych o różnicy najwyżej N. Problem wyjściowy rozwiązalibyśmy, gdybyśmy byli w stanie udowodnić, że możemy przyjąć N równe 2.

W pierwszym kroku zastanowiłbym się, czy jestem w stanie poprawić wynik Zhanga, udowadniając na przykład rezultat dla par liczb pierwszych o różnicy n, gdzie n jest mniejsze od N. To by nas przybliżyło do rozwiązania wyjściowego problemu (tak wyglądały dalsze badania nad problemem – różne grupy matematyków poprawiały wynik Zhanga, ale nie udało się uzyskać N=2, więc problem wciąż jest otwarty).

Dalsza faza badań to myślenie i więcej czytania. Do tego dochodzi kontakt z innymi matematykami. Zastanawiając się nad problemem wystarczająco długo, byłbym w stanie sformułować prostsze pytania, które mogłyby być lepiej rozumiane przez innych matematyków.

Matematyka jest aktywnością społeczną – nie wystarczy znaleźć dowód, ale trzeba również umieć go wytłumaczyć innym. Weryfikacja jest konieczna. Stąd tak dużą rolę odgrywają konferencje i seminaria, na których matematycy dyskutują o swoich badaniach i wymieniają się pomysłami.

Niestety najczęściej oryginalnego problemu i tak nie udaje się rozwiązać. Sytuacja nie jest jednak zła, bo na ogół udaje się osiągnąć małą poprawę dotychczasowych rezultatów lub zauważyć coś, co przeoczyli inni w swoich badaniach. Jest to baza do napisania artykułu, który będzie podstawą do dalszych badań. Matematyka jest kumulatywnym wysiłkiem pokoleń matematyków.

3. Dlaczego finansowanie czystej matematyki jest konieczne?

Innowacyjność. Słowo, które w ostatnich kilku latach jest często powtarzane. Chcemy, by Polska gospodarka była innowacyjna. Chcemy wysoce wykwalifikowanych specjalistów i zawodów, które będą w forpoczcie światowego rozwoju. Jak to osiągnąć? Kluczem jest wiedza.

U podstaw dziedzin opisujących świat - takich jak biologia, chemia i fizyka - stoi matematyka. Fizycy modelują nasz świat, używając do tego metod matematycznych. Podobnie jest w biologii, chemii, a także informatyce.

Bez dobrych podstaw matematycznych nie jest możliwe udoskonalanie współczesnych technologii. Najbardziej abstrakcyjna matematyka pełni funkcję pewnika – na niej opieramy postęp. Dzięki niej mamy komputery, internet, smartfony, samoloty czy podróże kosmiczne.

Ktoś mógłby słusznie zapytać: dlaczego nie finansować bezpośrednio inżynierów, którzy wytwarzają użyteczne dobra?

Problem polega na tym, że inżynierowie opierają swoje wyliczenia na podstawie teoretycznej, która pochodzi z fizyki. Najpierw musimy wiedzieć, że coś jest teoretycznie możliwie, zanim podejmiemy się to zrobić. Może więc finansować tylko fizyków? Jakkolwiek jest to konieczne, ich praca nie byłaby możliwa bez matematycznych podstaw pochodzących od abstrakcyjnej matematyki, która nie była uprawiana z myślą o zastosowaniach. 

Udział matematyków zajmujących się matematyką abstrakcyjną w projektach interdyscyplinarnych podnosi jakość badań (za przykład może posłużyć Stanisław Ulam i jego wkład w projekt "Manhattan" nad budową bomby atomowej).

Matematycy mają spojrzenie bardziej formalne na charakter badań i szerszą perspektywę, bo nie szukają natychmiastowych zastosowań. Interesuje ich całkowite zrozumienie tematu. Dlatego tak często wymyślają metajęzyki, które służą do opisu zjawisk.

Przykładem tego jest rozwój logiki, który pozwolił na stworzenie i programowanie komputerów. Z logików wywodzą się pierwsi informatycy i sama logika jest dalej konieczna do zajmowania się programowaniem.

Abstrakcyjny model komputera został stworzony przez Alana Turinga w 1936 roku. Dopiero po powstaniu ogólnej teorii zostały zbudowane pierwsze maszyny liczące

Potencjalnie w przyszłości to samo będzie się działo w ekonomii, socjologii czy biologii, gdzie do otrzymania wartościowych rezultatów jest potrzebny precyzyjny język. Tutaj wspomnę jedynie o teorii gier, która już znalazła zastosowanie w ekonomii i socjologii (teorią gier zajmował się bohater filmu „Piękny umysł” - matematyk John Nash), a także o wirtualnej walucie bitcoin, której bazą jest kryptografia (a więc znów teoria liczb!).

Sami matematycy zajmują się matematyką dla piękna, które w niej znajdują. Kwestia zastosowań w rzeczywistości jest dla nich drugorzędna.

Zresztą nie jest możliwe powiedzenie a priori, która dziedzina matematyki przyda się, a która nie.

Brytyjski matematyk Godfrey Hardy chlubił się tym, że zajmuje się na tyle abstrakcyjną matematyką, że nigdy nie znajdzie ona zastosowania. Los chciał, że jego badania wykorzystują obecnie biolodzy i informatycy do rozwiązywania konkretnych problemów (chodzi o zasadę Hardy'ego-Weiberga).

Z perspektywy gospodarki większość badań matematycznych nie ma ekonomicznego uzasadnienia – nie zwrócą się w ciągu pięciu czy dziesięciu lat. Są jednak najlepszą inwestycją w okresie dziesięcioleci, bo pozwalają utrzymać wysoce wykwalifikowanych naukowców, zbudować podstawy do wszelkich dalszych odkryć i zapewnić wsparcie zespołom z innych dziedzin oraz biznesu.

Zresztą odnosi się to również do innych badań podstawowych, czyli badań, które są prowadzone, aby coś zrozumieć, a nie zbudować. Badaniami podstawowymi są próby zrozumienia działania mózgu, konstrukcji atomu czy relacji między liczbami pierwszymi

4. Matematyka a sprawa polska

Najlepsze polskie uczelnie wciąż znajdują się obecnie w czwartej setce najlepszych uczelni na świecie. Co chwila pojawiają się opisy dolegliwości, które nękają system edukacji wyższej w Polce.

Mamy ambicje dorównać najbardziej rozwiniętym krajom, ale nie potrafimy ustalić spójnego planu działania. Brakuje dostatecznych środków na sprzęt i ludzi, a często te, które są, są nieumiejętnie wydatkowane.

Twierdzę, że matematyka jest dziedziną, w której możemy mieć sukcesy na światowym poziomie w krótkim czasie

Badania są tanie w porównaniu z kosztownymi laboratoriami potrzebnymi chemikom, biologom czy fizykom doświadczalnym. Przez zatrudnienie odpowiednich ludzi i zbudowanie warunków, w których matematycy mogliby się oddawać refleksji, mamy szansę konkurować z najbardziej rozwiniętymi krajami świata.

Już obecnie mamy wielu utalentowanych naukowców. By wymienić dwa najnowsze sukcesy: Piotr Nowak dostał grant europejski ERC, a Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk otrzymał wsparcie od fundacji amerykańskiego miliardera Jamesa Simonsa (warto też pamiętać, że Polska miała wiele sukcesów matematycznych przed wojną dzięki Banachowi i szkole lwowsko-warszawskiej).

Do Polski wraca coraz więcej osób z zagranicznymi doktoratami, które są chętne do pracy w kraju ojczystym. By rozwijać ich talent, warto zapraszać do nas zagranicznych matematyków z seriami wykładów, fundować konferencje naukowe, troszczyć się o polskich doktorantów, aby wyjeżdżali za granicę.

Matematycy nie potrzebują wiele – wystarczy im czas bez nauczania studentów, który będą mogli w całości poświęcić na badania. Efekty będzie widać szybko.

Im wyższy poziom matematyki w kraju, tym potencjalnie wyższy poziom technologiczny, bo nie da się zrozumieć działania współczesnej nauki bez matematyki. Innowacyjna Polska jest możliwa i droga do niej wiedzie przez matematykę – głębokie, analityczne myślenie i troska o szczegóły pozwalają konkurować z najlepszymi.