Pierwszy matematyczny model rozprzestrzeniania się epidemii i wpływu szczepień rozważał już Daniel Bernoulli w XVIII wieku. Dzisiaj epidemiolodzy bazują na modelach, które po raz pierwszy zostały sformułowane w 1927 roku przez dwóch szkockich naukowców - Andersona McKendricka oraz Williama Kermacka.
Obaj interesowali się matematyką, choć nie była ona ich specjalnością. Pierwszy był lekarzem, drugi biochemikiem, który wszystkie obliczenia matematyczne prowadził w pamięci, bo po wypadku w laboratorium w roku 1924 całkowicie oślepł.
Spróbujmy w wielkim skrócie prześledzić, jak wyglądało ich rozumowanie. W zasadzie już na palcach można pokazać, w jaki sposób rozprzestrzenia się choroba zakaźna.
Załóżmy, dla uproszczenia, że każdy chory, zanim nie wydobrzeje (albo umrze, bo i tak się może zdarzyć), zakaża średnio dwie zdrowe osoby. Liczba zakażonych podwaja się w każdym kroku - z dwóch chorych robi się czterech, z czterech - ośmiu itd. - i rośnie lawinowo. Matematycy mówią, że rośnie w sposób wykładniczy, bo tym wzrostem rządzi funkcja wykładnicza - w tym wypadku 2 do potęgi n, gdzie n jest liczbą osób zakażonych i rozsiewających zarazki.
Rozprzestrzenianie się choroby przypomina rozchodzenie się łańcuszka św. Antoniego albo powielanie spamu w internecie. Już w 20. kroku liczba zakażonych przekroczy milion, a w 25. kroku - populację niemal całej Polski.
Oczywiście, w praktyce do tego nie dojdzie, bo z czasem w otoczeniu ogniska choroby będą prawie sami inni chorzy (albo ci, którzy już przeszli chorobę i uodpornili się na nią), a więc nie będzie kogo zakażać. Epidemia wytraci impet.
Dokładny rozwój epidemii w czasie można zapisać w postaci nieliniowych równań różniczkowych (co zrobili McKendrick i Kermack), których nie daje się, niestety, rozwiązać na papierze. Trzeba użyć metod numerycznych.
Ale i bez pomocy komputera oczywiste jest, że aby zdusić epidemię, trzeba zmniejszyć liczbę nowych zakażeń. Można to zrobić na dwa sposoby:
Oba te sposoby są jednak trudne do realizacji, także kosztowne. Na szczęście w przypadku wielu chorób zakaźnych dysponujemy jeszcze jednym narzędziem - szczepieniami.
Przy tym szczepienia są najtańszą i najbardziej efektywną metodą walki z chorobami zakaźnymi. Dzięki nim w społeczeństwie jest duży odsetek ludzi, którzy są od początku odporni na chorobę. I jeśli nawet pojawi się osoba zakażona, to będzie miała wokół siebie ograniczony krąg tych, których może zakazić. Nie dojdzie więc do masowych zakażeń i lawinowego wzrostu chorych, co mogłoby źle się skończyć dla tych, którzy z różnych powodów nie mogą poddać się szczepieniu i pozostają nieuodpornieni.
Tym samym szczepienia nie tylko uodparniają pojedyncze osoby, lecz także chronią całą populację, utrudniając zainicjowanie epidemii. Nazywa się to odpornością grupową, populacyjną lub stadną.
Jaki dokładnie odsetek ludzi trzeba zaszczepić (tj. jaka powinna być wyszczepialność w społeczeństwie), aby pojawiła się "odporność grupowa"?
To zależy od współczynnika, który zwany jest bazowym współczynnikiem reprodukcji. Dla każdej choroby, a nawet regionu, może on być inny. Ma on jednak dość prosty sens: oznacza średnią liczbę osób, które zakażony jest w stanie sam wtórnie zakazić (w przykładzie choroby i epidemii z początku tekstu bazowy współczynnik reprodukcji wynosił 2).
Za każdym razem, kiedy ten współczynnik jest wyższy niż 1, pojawia się zagrożenie epidemią. Żeby nie nastąpił wykładniczy wzrost zachorowań, średnia liczba osób, którą chory zakaża, powinna być mniejsza niż 1. Kolejne potęgi liczb mniejszych niż 1 nie rosną, tak jak na przykład potęgi 2, lecz maleją do zera, co oznacza, że choroba w naturalny sposób wygasa.
Jeśli mamy do czynienia z chorobą, dla której bazowy współczynnik reprodukcji wynosi 2, to oznacza, że powinniśmy zaszczepić więcej niż co drugą osobę, tj. ponad 50 proc. populacji. Bo wtedy średnia liczba nowych zakażeń przypadająca na jedną osobę zmaleje poniżej 1.
Statystyczny chory, który normalnie zakaziłby dwie osoby, średnio zakazi mniej niż jedną, gdyż ponad połowa ludzi, z którymi się zetknie, dzięki szczepieniom będzie już odporna. I epidemia nie wybuchnie.
Podczas epidemii cholery na Haiti w 2010 r. współczynnik reprodukcji był mniejszy niż 2, więc szczepienia relatywnie niewielkiej części społeczności wyspy doprowadziły do opanowania sytuacji.
Niestety, dla wielu chorób ten współczynnik jest znacznie wyższy, m.in. dla ospy wietrznej wynosi ok. 10. Policzmy. Jeden chory zakaża średnio 10 zdrowych, co oznacza, że dla zapewnienia "odporności grupowej" trzeba zaszczepić na ospę średnio co najmniej 9 na 10 ludzi, czyli ponad 90 proc. populacji.
Dla odry bazowy współczynnik reprodukcji jest jeszcze wyższy, a więc jeszcze większy odsetek ludzi powinien być zaszczepiony. Próg bezpieczeństwa wynosi w tym wypadku 95 proc. Dla krztuśca szacowany jest na 92-94 proc., błonicy i różyczki - na 83-86 proc., a świnki na 75-86 proc.
Dlatego tak bardzo martwi epidemiologów spadek wyszczepialności w Europie i w Polsce. Według danych Narodowego Instytutu Zdrowia Publicznego-Państwowego Zakładu Higieny w 2017 roku wyszczepialność przeciwko odrze w Polsce zmniejszyła się już poniżej granicy gwarantującej odporność grupową.
Dzisiejsza gazeta (e-wydanie)
Wszystkie komentarze
ale nie wszyscy mogą się zaszczepić
Pewnie, że nie wszyscy, zwłaszcza te osobniki, co to już zeszły z tego świata.
istnieje wiele przeciwskazań do szczepienia, m.in. z powodu wieku, czy ciężkich chorób. Te osoby mogą liczyć tylko na odporność grupową
znając tendencje ówczesnej władzy do tuszowania różnych rzeczy (skażenie ołowiem na śląsku, skażenie promieniotwórcze itd), niewykluczone, że dzieciaki mogły być wykorzystane do jakichś testów socjalistycznych produktów. Kiedyś nieco mniej humanitarnie podchodzono do takich kwestii. Szczepionka przeciw śwince i różyczce zawiera patogeny poddane atenuacji, co wyklucza ich chorobotwórczość, o ile nie jest zanieczyszczona. Choroba dzięki szczepieniu jest statystycznie bardziej łagodna, ale po uzyskaniu odporności. Jeśli podali zanieczyszczone szczepionki, choroba rozwinęła się normalnie.
Co do przypadków świnki wśród zaszczepionej populacji - szczepienia mają wysoką, ale nie 100% skuteczność niestety. Pewne osoby, pomimo szczepień, nie nabywają odporności i są chronione wyłącznie przez odporność populacyjną. Co ciekawe zdarza się, bardzo rzadko, ale jednak, że po zaszczepieniu nawet szczepionką inaktywowaną, pojawiają się niektóre objawy przypominające chorobę, ale bez namnażania patogenu w organizmie. Bo układ odpornościowy danej osoby reaguje silniej niż w większości populacji.
Szczepionki przeciwko różyczce i śwince opracowano w latach osiemdziesiątych, a w Polsce różyczkę szczepi się od 1988, świnkę wraz z MMR w 2006.
Różnimy się co do faktów albo pamięć zawodzi...
No może jeszcze - jeśli było to w latach siedemdziesiątych, to może były to szczepionki radzieckie... przeciwko odrze i różyczce...
owszem, szczepionka nie chroni w 100% ale ja napisałem że 99 % zaszczepionych dzieciaków zachorowało... i to jest chyba różnica... nie manipuluj tekstem moim...
Wikipedia podaje, że przeciw śwince i różyczce zaczęto podawać już w roku 1967 ... rzeczywiście różnimy się co do faktów,
A może to wiki różni się co do faktów? Każdy kto jest specjalistą w jakiejś dziedzinie ma tego świadomość.
nie mów, że policzyłeś wszystkich.. chyba że przebadałeś próbę i jesteś w stanie na jej podstawie extrapolować wyniki.. jesteś? ;-D