Spróbujcie rozwiązać tę zagadkę. Zanim podpowiemy właściwe rozwiązanie, które jest naprawdę zaskakujące, może uda się wam rozwiązać podobny problem, tyle że w wersji w wersji świątecznej - z Mikołajem, elfami i prezentami:
Kiedy w naszych mieszkaniach roznosi się piernikowy zapach świąt, wszyscy cieszymy się na wizytę Świętego Mikołaja. Ale najpierw jego elfy czeka trudne zadanie: zidentyfikować grzeczne dzieci, przeczytać ich listy i w końcu zapakować prezenty.
Wbrew pozorom Mikołaj to utalentowany biznesmen. „Czas to pieniądz - mawia - więc musimy zwiększyć naszą efektywność”.
Elfy z Wydziału Matematyki i Statystyki Uniwersytetu Bieguna Północnego przeanalizowały średni czas potrzebny na poszczególne zadania. Okazało się, że zespół elfów obsługuje jedno dziecko w 100 sekund, z czego 99 proc. czasu przeznacza na biurokratyczne formalności, np. analizę dobrych i złych uczynków lub czytanie listów, a jedynie 1 proc. na fizyczne pakowanie prezentów.
W tym roku św. Mikołaj postawił przed swoimi podwładnymi wyzwanie: przyspieszyć formalności, żeby nie zajmowały 99 proc., lecz 98 proc. ogólnego czasu pracy.
„Żaden problem” - skomentował Mądrala, elf pracujący w Departamencie Zachowania Dziecka. „Szczerze mówiąc, spodziewałam się, że szef bardziej nam dokręci śrubę" — dodała anonimowo jego współpracowniczka.
Ile łącznie czasu zaoszczędzą elfy ze 100 sekund, które poświęcają każdemu dziecku? Czy tak niewielka redukcja czasu poświęconego na formalności rzeczywiście zrobi różnicę?
Jeśli elfy przyspieszą z formalnościami, skracając je z 99 proc. do 98 proc. całkowitego czasu, a nadal będą pakowały prezenty w tym samym tempie, to czas obsługi jednego dziecka spadnie o... 50 sekund, czyli dokładnie o połowę.
Nigdy nie wątpcie w Świętego Mikołaja!
Jak to możliwe? Prześledźmy to krok po kroku:
Aby zredukować udział formalności w całkowitym czasie pracy o 1 pkt proc., elfy muszą aż dwukrotnie przyspieszyć obsługę każdego dziecka.
Przeczy to naszej intuicji, gdyż działania na procentach i liczbach rządzą się różnymi regułami, o czym zdarza nam się zapomnieć. Większość z nas zakłada, że czas potrzebny elfom na jedno dziecko nie powinien specjalnie się zmienić, skoro redukcja z 99 proc. do 98 proc. całkowitego czasu wydaje się tak mała.
Matematycy nazywają ten zaskakujący wynik paradoksem ziemniaka ze względu na standardowe sformułowanie problemu (podaję za książką Davida Darlinga "The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes"):
Przynosisz do domu 100 kg matematycznych ziemniaków składających się w 99 proc. z wody. Przez noc wysychają one na tyle, że rano woda stanowi 98 proc. ich składu. Ile teraz ważą? Odpowiedź: tylko 50 kg!
Spotykamy się z tym paradoksem za każdym razem, gdy stężenie jednej substancji (fizycznej lub abstrakcyjnej, na przykład czasu) podwaja się, czy to z 1 proc. do 2 proc., czy z 25 proc. do 50 proc. całości. Wtedy ilość (rozmiar, długość, masa itp.) drugiej substancji zmniejsza się o połowę całości, o ile ilość pierwszej substancji się nie zmienia.
Znajomość paradoksu ziemniaka może się przydać podczas świątecznych przygotowań. Przesoliłeś zupę? Musisz do niej dodać więcej wody, niż ci się wydaje, żeby nadawała się do podania gościom. Kupiłaś świeże drewno do kominka? Po wysuszeniu prawdopodobnie stanie się ono ponaddwukrotnie lżejsze.
I wreszcie, jeśli na przyjęciu opłatkowym na Wydziale Matematyki jesteś jedyną kobietą pośród 99 mężczyzn (to, niestety, bardziej prawdopodobne, niż może się na pierwszy rzut oka wydawać), wzrost udziału kobiet wśród gości z 1 proc. do 2 proc. oznacza, że 50 mężczyzn opuściło salę.
Sprzeczność w paradoksie ziemniaka jest tylko pozorna. Jak już zobaczyliśmy, liczby się zgadzają, jedynie nasza liczbowa intuicja nas zawodzi.
W przeszłości umiejętność liczenia pomagała nam przetrwać. Musieliśmy się przecież zastanawiać, czy mamy wystarczająco dużo jedzenia dla całego plemienia albo czy wrogowie przypadkiem nie przewyższają nas liczbowo.
Z drugiej strony wciąż mamy problem z szacowaniem stosunków, procentów i stężeń; nawet wykształcenie matematyczne niewiele w tym pomaga.
Jednak świadomość, że nasze umysły lubią nas oszukiwać, może nam pozwolić z większą rozwagą (i użyciem matematyki) podejmować codzienne decyzje.
Z okazji świąt Bożego Narodzenia życzę Wam, aby Waszych pierników nie spotkał los naszych paradoksalnych ziemniaków. I żeby ekipa Świętego Mikołaja wykorzystała potęgę 1 pkt proc. – może w tym zaoszczędzonym czasie uda im się przygotować dodatkowe prezenty nawet dla nieco mniej grzecznych dzieci?
Wesołych Świąt!
Dzisiejsza gazeta (e-wydanie)
Wszystkie komentarze