Zaczynali od zera, stali się legendą. Jak warszawscy matematycy podbili świat

Jak zatem wytłumaczyć oszałamiający sukces polskich matematyków okresu międzywojennego?

Wbrew naszej narodowej postawie „jakoś to będzie” sukces ten został starannie zaplanowany. Za początek polskiej szkoły matematycznej uznaje się rozesłany po świecie w 1917 roku - u progu niepodległości Polski - list warszawskiego matematyka Zygmunta Janiszewskiego zatytułowany "O potrzebach matematyki".

Rewolucja po polsku

Manifest Janiszewskiego zawierał wiele sugestii dotyczących budowania mocnej pozycji matematyki polskiej w świecie, w tym dwa rewolucyjne pomysły, które, choć ryzykowne, okazały się kluczem do sukcesu.

Po pierwsze, Janiszewski postulował założenie matematycznego czasopisma poświęconego tylko jednej dziedzinie (przy czym jego teksty miały być publikowane w językach obcych - angielskim, francuskim, niemieckim i włoskim).

Dzisiaj wydaje się to oczywistością, gdyż większość profesjonalnych czasopism mniej lub bardziej się specjalizuje. Gdy ja szukam inspiracji w "Journal of the Royal Statistical Society" (Czasopismo Królewskiego Towarzystwa Statystycznego), koleżanka algebraiczka przegląda "Journal of Group Theory" (Czasopismo Teorii Grup). Jednak na początku XX wieku takie posunięcie wydawało się ryzykowne.

Henri Lebesgue, wybitny francuski matematyk, wyraził obawę, że wyspecjalizowane czasopismo nie ma szans na otrzymanie dostatecznej liczby artykułów dobrej jakości.

Tekst sprawdzony przez korektę "Fundamenta Mathematicae" - czasopismo założone w 1920 r. przez trzech wykładowców reaktywowanego Uniwersytetu Warszawskiego - Zygmunta Janiszewskiego, Stefana Mazurkiewicza i Wacława Sierpińskiego - do dzisiaj jest wydawane przez Instytut Matematyki PAN.

Propozycje specjalizacji sięgały dalej. Otóż Janiszewski zasugerował, żeby badania większości polskich matematyków skupiły się tylko na wąskim wycinku matematyki.

Tak też się stało. Do dziś przedstawiciele warszawskiej szkoły matematycznej słyną przede wszystkim ze swoich dokonań w teorii mnogości (tj. teorii zbiorów), która wówczas była stosunkowo nową dziedziną, a także w spokrewnionych działach, takich jak logika matematyczna i topologia.

Od zera odlicz!

Nie wszyscy przedstawiciele warszawskiej szkoły matematycznej od początku byli ekspertami w postulowanych przez Janiszewskiego dziedzinach. Pierwsza wybitna, nagrodzona złotym medalem praca Wacława Sierpińskiego powstała jeszcze na Cesarskim Uniwersytecie Warszawskim pod okiem Georgija Feodosijewicza Woronoja, specjalisty w zakresie teorii liczb.

Przez pierwsze lata swojej kariery Sierpiński badał więc własności liczb, szczególnie tych, które dzisiaj zwane są "liczbami Sierpińskiego". To takie nieparzyste liczby naturalne k, dla których wyrażenie k2^n+1 nie jest liczbą pierwszą (czyli podzielną tylko przez jeden i samą siebie) dla żadnej liczby naturalnej n.

W tym miejscu wypadałoby podać prosty przykład, ale niestety najmniejsza do tej pory znaleziona liczba Sierpińskiego to 78557. I nie wiadomo, czy istnieje mniejsza. Do dziś specjaliści od teorii liczb z pomocą potężnych komputerów łamią sobie głowy nad tzw. problemem Sierpińskiego, który polega na odszukaniu najmniejszej liczby Sierpińskiego. Problem wciąż pozostaje otwarty.

Podobno Sierpiński był orędownikiem liczenia od zera, a nie od jedynki. W latach 60., jak opowiadali jego przyjaciele, na lotnisku O’Hara w Chicago Sierpiński zgłosił brak jednej z walizek. – Ależ, Mr Sierpiński, są wszystkie. Sześć. Tyle pan wpisał w deklaracji, proszę jeszcze raz przeliczyć - tłumaczył personel. - To niemożliwe - rozpaczał matematyk. - Liczyłem je już nieraz: zero, jeden, dwa, trzy, cztery, pięć"

(Powyższą anegdotę przytaczają Jan Hauke i Tadeusz Ostrowski w ”Polscy rycerze na dworze królowej nauk”).

Po kilku latach zajmowania się liczbami Sierpiński jednak zmienił temat badań. Zaintrygowało go twierdzenie mówiące, że można opisać punkty na płaszczyźnie tylko jedną współrzędną, a nie dwiema (np. długość i szerokość, jak przywykliśmy to robić). Na jego list z pytaniem o to dziwaczne twierdzenie pracujący w Getyndze polski matematyk Tadeusz Banachiewicz odpisał podobno jednym słowem: Cantor.

W ten sposób przed Sierpińskim otworzył się świat zapoczątkowanej przez niemieckiego matematyka Georga Cantora teorii mnogości (zwanej też teorią zbiorów).

Ta stosunkowo nowa dziedzina jest dziś dla matematyków niczym gramatyka dla dziennikarzy: niby nie myślimy o niej na co dzień, ale jest niezbędna przy tworzeniu każdego tekstu.

Studenci matematyki na Uniwersytecie Warszawskim stykają się z teorią mnogości już w pierwszym semestrze pierwszego roku, na przedmiocie nie bez powodu nazwanym "Wstęp do matematyki".

Na początku XX wieku ta dziedzina była jeszcze w powijakach. Gdy świeżo habilitowany Sierpiński objął w 1910 r. kierownictwo II Katedry Matematyki na Uniwersytecie Lwowskim, jego kurs teorii mnogości był jednym z pierwszych na świecie (kilka lat później wydał podręcznik z tego zakresu - także pierwszy na świecie).

Badał fraktale, kiedy to jeszcze nie było modne

Dzisiaj kojarzymy nazwisko Sierpińskiego z takimi figurami jak trójkąt Sierpińskiego czy dywan Sierpińskiego. To fraktale, chociaż nazwę "fraktal" (łac. fractus – złamany, postrzępiony) ukuł dopiero w latach 70. XX wieku inny urodzony w Warszawie matematyk - Benoit Mandelbrot.

Okazuje się jednak, że jedne z pierwszych fraktali w matematyce - zanim jeszcze pojawiła się ich ogólna teoria i nazwa - badał właśnie Sierpiński.

Intuicyjnie fraktale to obiekty samopodobne, czyli takie, które wyglądają tak samo niezależnie od skali, tj. ich dowolny fragment w powiększeniu wygląda jak całość.

Fraktale dosłownie nas otaczają - taki kształt mają linie wybrzeży, korony drzew, ale również wykresy giełdowych notowań, cen zboża, elektrokardiogramy, ludzkie oskrzela i sieć krwionośna. Ba! Każdy z nas zapewne kiedyś fraktala zjadł. Przyjrzyjcie się dokładniej kalafiorowi: cały kwiat kalafiora wygląda w przybliżeniu jak jedna różyczka, która wygląda jak fragment różyczki, która... itd.

(Nawiasem mówiąc, matematycy uważają, że na świecie są dwa rodzaje ludzi: ci, którzy nie wiedzą o fraktalach, i ci, którzy uważają, że na świecie są dwa rodzaje ludzi...)

Trójkąt Sierpińskiego to jeden z najsłynniejszych fraktali. Możecie go bez problemu sami skonstruować - niczym ludową wycinankę. Trzeba narysować trójkąt równoboczny i - łącząc środki jego boków - podzielić go na cztery mniejsze trójkąty. Teraz "wycinamy" środkowy trójkąt. W trzech pozostałych trójkątach powtarzamy procedurę - tj. każdy z nich dzielimy na cztery trójkąty i "wycinamy" środkowy. I tak dalej, w nieskończoność, jak na poniższym rysunku.

Trójkątem Sierpińskiego nazywamy to, co pozostanie z początkowego trójkąta po nieskończenie wielu takich cięciach.

Okazuje się, że taki obiekt ma niezwykłe właściwości. Na przykład jego powierzchnia wynosi zero! Nie zajmuje żadnej powierzchni, ale mimo to nie jest obiektem jednowymiarowym, jak linia. Wymiar - tzw. wymiar fraktalny - trójkąta Sierpińskiego wynosi około 1,585, czyli jest liczbą niecałkowitą.

"Ułamkowy" wymiar odróżnia fraktale od spotykanych na co dzień obiektów jedno-, dwu- czy trójwymiarowych.

Nic dziwnego, że badania Sierpińskiego stały się inspiracją dla wielu matematyków! I nie tylko matematyków. W roku 1970, czyli rok po śmierci uczonego, Międzynarodowa Unia Astronomiczna nazwała jego nazwiskiem jeden z dużych kraterów na Księżycu.

Pisząc te słowa, wyglądam przez okno matematycznego Instytutu Newtona w Cambridge i widzę też "Drzewo Sierpińskiego", które wyrosło kilka lat temu na tutejszym trawniku:

Na grobie Sierpińskiego na warszawskich Starych Powązkach wyryto napis: "Badacz nieskończoności". Na tym samym cmentarzu spoczywa też jego doktorant i współpracownik Stefan Mazurkiewicz, na którego grobie napisano: "Nie umarł. Skończył tylko dowodzenie".

Nieproste twierdzenia o krzywych

Mazurkiewicz podjął badania na temat wymiarów, które zaczął Sierpiński. Zajmował się topologią, m.in.krzywymi wypełniającymi przestrzeń.

Krzywa to - w uproszczeniu - dowolna linia, jaką można narysować na kartce papieru, piłce, obwarzanku czy innym obiekcie. Mazurkiewicza szczególnie interesowały krzywe, które mogą szczelnie wypełnić cały kwadrat (ale nie próbujcie ich rysować ołówkiem czy flamastrem, bo matematycy zakładają, że są ona nieskończenie cienkie! Tu działa tylko matematyczna wyobraźnia). Na zawsze zapisał się w historii matematyki dzięki twierdzeniu Hahna-Mazurkiewicza, które takie krzywe charakteryzuje.

Próżno dzisiaj szukać porządnego kursu topologii, podczas którego studenci nie musieliby żmudnie dowodzić tego twierdzenia.

Wbrew pozorom topologia to nie nauka o topolach (jak myślałam przez znaczną część swojego życia), lecz o takich własnościach obiektów, które nie zmieniają się przy deformacjach. W topologii dozwolone jest dowolne wyginanie, rozciąganie czy skręcanie obiektów, lecz nie rozrywanie lub sklejanie. Innymi słowy, topolog nie odróżnia obwarzanka od filiżanki: oba mają w sobie dokładnie jeden otwór (obwarzanek - w samym środku, filiżanka - w uchwycie). Gdyby były z plasteliny, moglibyśmy bez problemu przekształcić filiżankę w obwarzanek, i na odwrót.

Podobnie krzywą w topologii możemy dowolnie wyginać i rozciągać, byleby zgadzała się liczba miejsc, w których przecina się ona sama ze sobą.

Topologiczny skalpel do rozcinania przestrzeni

Topologią zajmował się również Zygmunt Janiszewski, który był rówieśnikiem Mazurkiewicza.

Do jego największych dokonań należy twierdzenie Janiszewskiego (tak, podręczniki do topologii obfitują w polskie nazwiska!), które umożliwiło dowód jednego z fundamentalnych twierdzeń topologii: twierdzenia Jordana o rozcinaniu.

Mówi ono, że jeżeli narysujemy na kartce krzywą zamkniętą, czyli jej początek i koniec znajdą się w tym samym punkcie, ale nieprzecinającą się (przykładem może być okrąg), to podzieli ona kartkę na „wnętrze” i „zewnętrze”.

Przyznam szczerze, że gdy pierwszy raz zobaczyłam to twierdzenie, wykrzyknęłam: „Przecież to oczywiste!”. Problem w tym, że w matematyce pozornie oczywiste fakty często takie nie są (zwłaszcza gdy weźmiemy pod uwagę wszystkie patologiczne wyjątki). Matematyka opiera się na rygorystycznych dowodach, a „proste” i "intuicyjne" stwierdzenia często właśnie najtrudniej udowodnić.

Istnieją obiekty, które się matematykom nie śniły

Janiszewski żył jedynie 32 lata, padł ofiarą szczególnie ostrej grypy, hiszpanki, jaka nawiedziła Europę tuż po I wojnie światowej. Nie doczekał nawet wydania pierwszego tomu swojego pisma "Fundamenta Mathematicae". Tym bardziej imponujące są jego osiągnięcia. Nie tylko umysł, ale i ciało poświęcił nauce: po śmierci zapisał je medycynie.

Zainteresowanie topologią przejął po nim jego wybitny uczeń Kazimierz Kuratowski. W mojej ocenie jego najważniejszym osiągnięciem jest pewne twierdzenie z dziedziny teorii mnogości: lemat Kuratowskiego-Zorna, który zapewnia, że w zbiorach spełniających pewne warunki istnieje element maksymalny. Ale twierdzenie nie wskazuje, który to element.

Pozwala to więc matematykom dowodzić istnienia obiektów, których nie potrafią skonstruować ani wskazać.

Studenci spotykają lemat Kuratowskiego-Zorna na przeróżnych przedmiotach, od algebry po topologię. Bez przesady można napisać, że to twierdzenie ma fundamentalne znaczenie dla współczesnej matematyki.

Twierdzenia matematyczne na eksport

Nie sposób wymienić wszystkich przedstawicieli warszawskiej szkoły matematycznej ani ich osiągnięć. Zbudowali niemal z niczego jedną z najsilniejszych grup matematycznych na całym świecie.

Polskie nazwiska do dziś wypełniają strony podręczników i monografii matematycznych, a nasze zdolności w tej dziedzinie stały się niemal legendarne. Tuż po II wojnie światowej nasze władze chwaliły się, że Polska eksportuje "węgiel i twierdzenia matematyczne", i było to prawdą.

Dziś nasz węgiel już nie jest raczej powodem do dumy, ale matematyka - nadal się liczy.

Gdy zaczynałam studia w Wielkiej Brytanii, jeden z wykładowców optymistycznie mnie pocieszył, że jego przedmiot na pewno nie sprawi mi trudności, bo przecież... "wy, Polacy, macie matematykę we krwi".

UWAGA, KONKURS! Wielcy polscy matematycy znani i nieznani. Konkurs dla szkół ponadpodstawowych i organizacji pozarządowych. Pula nagród: 130 tys. zł