Z punktu widzenia matematyka to obojętne. Nieważne, czy zajmiemy się dźwiękami, czy rytmiką – i tak dojdziemy do samego sedna muzyki. A jest nim… matematyka. A ponieważ zazwyczaj muzykę bada się od strony melodii, tym razem spróbujmy z rytmem!
Co łączy gorące kubańskie rytmy i akceleratory cząstek? Odpowiedzią jest… algorytm.
Algorytm to zapisany w postaci listy kroków przepis na wykonanie pewnej czynności. Algorytmy to podstawa działania programów komputerowych. Są bardzo różne – jedne służą do sortowania, inne do obliczania ważnych rzeczy… Ale ten, który nas interesuje, powstał, gdy naukowcy próbowali rozwiązać problem sterowania akceleratorami cząstek. Chodziło o to, żeby otwierać i zamykać przesłonę tak, aby dzielić czas na możliwie równe odcinki. Tak narodził się algorytm Bjorklunda.
Weźmy łańcuch złożony z pewnej liczby kratek:
W kratkach ma się znaleźć pewna liczba jedynek i zer, przy czym chcemy, żeby jedynki były jak najdalej od siebie.
Startujemy z:
Najpierw obdzielamy jedynki równo zerami:
Jeśli na końcu zostanie nam trochę zer (za mało, by obdzielić wszystkie jedynki), przydzielmy je, gdzie się da, począwszy od lewej:
I voila! Podział osiągnięty. Jeśli kratek jest dużo, a jedynek mało, trzeba wykonać kilka kroków. Algorytm to ogólna zasada, wedle której się to robi. Nie trzeba za każdym razem wymyślać od nowa – gotowy algorytm trzeba zastosować tak, jak kuchenny przepis na ciasto.
No dobrze, ale gdzie tu muzyka? W tym właśnie sedno!
Spójrzmy raz jeszcze na efekt naszej pracy. A gdyby tak zamienić jedynki na iksy, a zera na kropki?
Pozornie nic się nie stało, ale nagle zaczyna to wyglądać jak zapis muzyczny dla perkusisty. To... rytm! Iksy oznaczają uderzenia, a kropki - pauzy.
Właśnie wygenerowaliśmy rytm. I to nie byle jaki rytm! Ten konkretny przykład jest charakterystyczny dla muzyki kubańskiej, ale też znany powszechnie Afryce Zachodniej. Nosi nazwę tresillo (po hiszpańsku tres to trzy).
W praktyce oczywiście odgrywamy rytm w kółko. I to kółko można łatwo narysować w postaci:
Zawinęliśmy kratki w pętlę. Tam, gdzie w kratkach są iksy, malujemy wierzchołek na czarno, a tam, gdzie kropki – zostawiamy puste kółeczko.
Z muzycznego punktu widzenia jest oczywiście ważne, w którym miejscu (na którym uderzeniu) zaczynamy rytm. Matematyk odruchowo jednak wszystkie rytmy oparte na tym samym rozłożeniu uderzeń i pauz będzie traktował jak jeden obiekt. Tak się akurat składa, że obiekt taki jak na rysunku powyżej nosi w matematyce uroczą nazwę naszyjnika. Pewnie dlatego, że przypomina biżuterię – taką z czarnymi i białymi perłami!
Jeśli spróbujemy w ośmiu kratkach upchnąć pięć jedynek, algorytm wytworzy inny rytm, który również znany jest w muzyce całego świata.
To tak zwane cinquillo (po hiszpańsku cinque to pięć).
Tu również istnieje pewna dowolność – można zacząć granie tego rytmu w jednym z pięciu możliwych punktów. Jeśli wystartujemy od 2, a nie od 0, otrzymamy dość klasyczny rytm, w którym tańczy się tango.
Tresillo i cinquillo spotkały się kiedyś w jednym miejscu – w piosence "Hound Dog" Elvisa Presleya. Gitara basowa gra tam tresillo, a klaskanie odbywa się w rytmie cinquillo. Wystarczy się wsłuchać!
Naszyjnik rytmiczny można sobie dowolnie obracać, byleby na pierwszym miejscu zawsze była czarna kropka. Znakomicie widać to na rodzinie brazylijskich rytmów o nazwie bossa nova. Bossa nova oznacza dosłownie ”nowa fala”.
Rytm ten "wynaleźli" dwaj brazylijscy muzycy – Antonio Carlos Jobim i Joao Gilberto. Raczej nie korzystali z algorytmu Bjorklunda, ale kto wie? Może coś tam policzyli na serwetce?
Żeby stworzyć bossa novę, musimy rozdzielić pięć iksów na szesnaście kratek. Zgodnie z wcześniejszym przepisem otrzymamy:
Zazwyczaj bossa nova zaczyna się na trzecim uderzeniu:
Ale bywają wersje brzmiące i tak:
Podpowiedź: można na iksach klaskać, a kropki cicho wystukiwać nogą. A najlepiej posłuchać – choćby nieśmiertelnego standardu "Girl from Ipanema" w wykonaniu Joao Gilberta właśnie.
Oto klasyczna jego wersja z Joao i Astrud Gilberto:
Choć moim zdaniem jeszcze lepsi są Sinatra i Antonio Carlos Jobim, bo widać, jak Jobim gra:
Dość podobnie sytuacja wygląda z inną brazylijską specjalnością – sambą. Tym razem w szesnastu kratkach trzeba rozstawić siedem iksów.
Algorytm wyprodukuje rytm w postaci:
Ale najczęściej grany jest on tak:
Chyba że zaczniemy go od piątego uderzenia:
Wtedy powstanie rytm, który bardzo rozpowszechniony jest akurat w… Ghanie!
Już z tego pobieżnego rozeznania widać pewne ciekawostki. Po pierwsze, różne rytmy, z różnych stron świata, mają podobne własności matematyczne. Pewne rytmy po prostu należą do tych samych naszyjników, inne zaś nie.
Etnografowie zajmujący się muzyką Afryki posługują się w swych opisach pojęciem bell patterns, czasem też standard patterns. To rytmy wygrywane najczęściej na instrumentach metalowych, różnego rodzaju dzwonkach (stąd bell pattern).
Wokół tych rytmów zorganizowana jest muzyka afrykańska, a za nią także wszystkie te style i tradycje muzyczne, które czarni niewolnicy przenieśli na Karaiby, do Brazylii czy Ameryki Północnej. Konkretne rytmy towarzyszyły ludom Afryki w ich tańcach, obchodach świąt, a także rytuałach. Do badania rozwoju kultur afrykańskich często stosuje się analizy porównujące rytmy różnych ludów. W tym momencie do głosu znów dochodzi matematyka!
Naszyjniki rytmów różnych typów można podzielić na kilka grup. I co ciekawe – różne grupy rytmów pojawiają się na różnych kontynentach. Niektóre z nich znane są w Afryce i nigdzie indziej. Inne charakterystyczne są dla muzyki perskiej lub bułgarskiej.
Zachodnia europejska muzyka wykorzystuje tylko te najprostsze matematycznie rytmy, za to rytmy muzyki hinduskiej biją na głowę wszystko, co da się wyrazić prostymi matematycznymi regułami. Dlatego właśnie warto słuchać muzyki świata!
Oczywiście to jeszcze nie koniec. W końcu czemu ograniczać się tylko do jednego rytmu? Odpowiedzią jest polirytmiczność!
Polirytmiczność ma miejsce wtedy, gdy w jednym utworze muzycznym występują równolegle dwa lub więcej rytmów. Sęk w tym, że nie wystarczy, by dwa rytmy po prostu biegły obok siebie:
Na powyższym przykładzie widać, o co chodzi. Spróbujmy górny rytm wyklaskać, a dolny – wystukiwać nogą. Jakoś tak nudno. To dlatego, że jeden rytm dokładnie zmieścił się w drugim. Zabawa zaczyna się dopiero wtedy, gdy mamy na siebie nałożyć dwa rytmy, które są do siebie niewspółmierne.
Oznacza to tyle, że liczby opisujące długości rytmów nie są przez siebie podzielne. Matematycy mówią, że są względnie pierwsze. Trzeba wtedy znaleźć taki podział, który pozwoli umieścić oba rytmy obok siebie.
Najlepiej znaleźć tak zwaną najmniejszą wspólną wielokrotność. Dla liczb dwa i trzy będzie to sześć:
W ten sposób osiągnęliśmy rytm 2:3, znany w Europie pod nazwą hemiola. Często występuje w muzyce afrykańskiej, ale Europejczykom sprawia trudności. Na przykład europejscy badacze kultury Afryki słuchali tylko muzyki, zamiast... patrzeć. Tymczasem afrykańska muzyka to także taniec. Jeśli są jakieś wątpliwości co do tego, jak grać dany rytm, wystarczy popatrzeć na nogi tancerzy. Oni bez pudła wyczuwają, że głównym rytmem jest rytm na dwa i tak należy stawiać kroki.
Na szczęście muzycy z tradycji afrykańskiej wprowadzili swoje rytmy (i polirytmy) do muzyki jazzowej, dzięki czemu na przykład Mongo Santamaria skomponował swój standard "Afro Blue", wykorzystując właśnie 3:2.
Z kolei John Coltrane odwrócił cały układ i zagrał "Afro Blue" w polirytmicznym układzie 2:3.
W ten sposób muzyka Zachodu wzbogaciła się o wielki standard jazzowy i od razu dwa polirytmy!
Ale cóż to jest w porównaniu z Conlonen Nancarrowem, który swoją Etiudę nr 40 postanowił skomponować w rytmie e:π? Muzyka nie zna bowiem żadnych przyziemnych ograniczeń, dokładnie tak jak matematyka!
Dzisiejsza gazeta (e-wydanie)
Wszystkie komentarze
Autorowi dziękuję z ukłonem:-)
A co do sporu co było pierwsze, to nie mam wątpliwości: rytm!
Niedowiarkom polecam film Rhythm is It! Na zachętę fragment z jutuby: www.youtube.com/watch?v=fYB8ySWjvuc
To trochę jak z kabalistami, którzy przyporządkowują pewne cyfry literom w Biblii a potem na tysiącu stronach spokojnie znajdują szeregi układające się w pewne daty. Potem wystarczy poszukać co się pod daną datą zdarzyło (a pod każdą datą coś się zdarza) i jest kabała.
Albo weźmy muzykę dodekafoniczną Stockhausena. Co robi nasz artysta? Układa nuty według linii wieżowców Manhattanu a potem innych miast. Działa. Są też próby łączenia dźwięków z położeniami gwiazd na niebie dla udowodnienia, że muzyka to idealny język abstrakcyjny kosmosu.
Można się bawić. W poezji się to nazywa dadaizm.
Bardzo trafna obserwacja. Artykuł ciekawy jeśli chodzi o przykłady rytmów, ale to powiązanie z matematyką jest na takiej bardzo banalnej płaszczyźnie.
Gitarzysta jazzowy Pat Martino na płycie Think Tank zamieścił utwór, w którym główny motyw skomponował mniej więcej w ten sposób:
- wziął nazwisko "John Coltrane"
- w jakiś tam sposób do każdej litery przyporządkował jakiś dźwięk gamy według wymyślonego przez siebie algorytmu, chyba na zasadzie, że litery abcdefg to po prostu odpowiadające im dźwięki gamy w amerykańskim systemie notacji, a kolejne litery alfabetu są przyporządkowane znowu do tych samych dźwięków gamy, licząc od nowa, czyli h - to a, i to b, j to c, k to d, itp.
- i motyw gotowy.
O ile pamiętam, chyba w tak stworzonym motywie wprowadził jeszcze jakąś zmianę, żeby było ładniej, więc cała elegancja niesamowitej matematycznej koncepcji runęła, bo widać John Coltrane nie nazywał się na tyle "ładnie", żeby ten algorytm zagwarantował w pełni satysfakcjonującą melodię ;-)
Motyw jest OK, ale ten sposób kompozycji to po prostu jakaś tam metoda, dość arbitralna, ani to głębokie, ani szczególnie kreatywne... Dość przypadkowe tak naprawdę (jak te budynki Manhattanu).
Ale w każdej recenzji tej płyty konsekwentnie przewija się hasło o zastosowaniu "systemu matematycznego", jak by to miało zagwarantować jakąś niesamowitą wartość artystyczną i pokazywać geniusz artysty. Widocznie na części ludzi hasło "matematyka" robi ogromne wrażenie.
Cóż, prawo artystów i licencia poetica żeby podawać maluczkim do wierzenia Wielką Sztukę. Zatem taki Rimbaud wymyślił algorytm przyporządkowywania kolorów do liter a przecież gość pisał klasa wiersze i takie dodatkowe udziwniania nie byłyby potrzebne, może potrzebował więcej pieniędzy i robił taki trik marketingowy? Inny trik to sekwencje w tekście literackim bez specjalnego znaczenia żeby potem dzieci miały co robić na lekcjach w ramach zadania ?co poeta nam chciał przez to powiedzieć?. Np. słynne imię jego 44 u Mickiewicza. Drogie dzieci: poeta byłby wielce zaskoczony interpretacjami waszej podstawy programowej z polskiego, bo nawąchał się zioła, się mu tak chlapło i w zasadzie powiedzieć nie chciał nic. To już bardziej szczery był Dali. Po chlapnięciu parę razy na płótno, zapytany co obrazek przedstawia, odpowiedział: sto tysięcy dolarów. Byłem kiedyś uczestnikiem zajęć w ramach tzw. muzyki komputerowej stąd ta tematyka jest mi znana, tylko o Beatlesach napisano tomy rzekomo udowadniając związku rytmu ich przebojów z częstotliwościami bicia ludzkiego serca, po rozłożeniu na różne spektra. Tak długo rozkładano te amplitudy, że zawsze do jakiejś pioseneczki Bitlesów to pasowało i algorytm gotowy. Dla naiwnych. Jak koncepcja muzyki kosmicznej na zasadzie ?pentatonika, pięć tonów zamiast ośmiu?. Że niby to harmonia ciał niebieskich.
Nie zgadzam się.. Bo są przykłady utworów.