Matematyka w moim życiu. Jak, u licha, wepchnąć materac do szafy?

Matematyka od zaraz zatrudnię

Algorytmy kierujące wyszukiwaniem - a także doborem reklam, które są nam pokazywane - są nieustannie ulepszane, dziś pracuje nad nimi w Google armia matematyków i informatyków z doktoratami. Stanowią klucz do sukcesu i najpilniej strzeżony sekret Google'a. Podobnie jak algorytmy, za pomocą których Facebook rozpoznaje nasze twarze, a Spotify wyszukuje piosenki podobne do tej, której właśnie słuchamy.

W dziedzinie współczesnej informatyki wszystko sprowadza się do odpowiedniego algorytmu - kompresji, sortowania, szyfrowania, zapisu czy wyszukiwania danych.

Nasze konsole wideo, laptopy, smartfony byłyby nic niewartymi pudełkami wypełnionymi szkłem, plastikiem i metalem, gdyby nie talent matematyków.

To dlatego matematycy są dziś rozchwytywani i łatwo znajdują dobrze płatną pracę. Według amerykańskiego serwisu CareerCast.com zawód matematyka jest w tym roku na siódmym miejscu pod względem atrakcyjności profesji, a pierwsze miejsce okupują... statystycy, którzy tak naprawdę także są przedstawicielami królowej nauk. Zawody matematyka i statystyka zdecydowanie wyprzedzają profesje tradycyjnie uznawane za lukratywne, np. chirurga czy agenta ubezpieczeniowego.

Geometria włazów do studzienek

Ale matematyka jest zawarta nie tylko w najnowszych technologiach. Wystarczy się rozejrzeć wokół siebie - np. czy zwróciliście uwagę na to, że studzienki kanalizacyjne na ulicach są okrągłe? Z matematycznego punktu widzenia jest to optymalny kształt - wygodny, bo koło ma idealną symetrię i można je dowolnie położyć, ale przede wszystkim bezpieczny. Taki bowiem kształt gwarantuje to, że pokrywa nie wpadnie do środka, pozostawiając groźną dziurę w jezdni, nawet jeśli podskoczy pod ciężarem samochodu i obróci się albo jakiś dowcipniś będzie chciał ją do otworu wcisnąć. Koło ma taką własność, że niezależnie od tego, jak je przekręcisz, ma zawsze taką samą szerokość (należy do figur o tzw. stałej szerokości - patrz przypis na końcu tekstu). Pokrywy kwadratowe, trójkątne, czy prostokątne nie mają tej cechy, można je tak przekręcić, by przeszły przez otwór, który zakrywają.

Wątpię, by producenci studzienek kanalizacyjnych potrafili podać ścisły matematyczny dowód tego faktu, ale - tak jak Molierowski Jourdain nieświadomie mówił prozą, tak oni, chcąc nie chcąc, wykorzystują twierdzenie matematyki.

Wszyscy tak mamy, a chyba najbardziej podstawową matematyczną dziedziną, jaką się posługujemy, jest arytmetyka. Umiejętność liczenia była człowiekowi potrzebna do przeżycia. Ci, którzy wypasali stada, musieli upewniać się, czy wszystkie kozy i owce wróciły do domu. Wodzowie rachowali żołnierzy, porównując siły swoje i wroga, magazynierzy sumowali zapasy żywności, które musiały starczyć na całą zimę, a kapłani odejmowali dni dzielące społeczność od upragnionego nadejścia wiosny. Rachować z pewnością nauczyliśmy się znacznie szybciej, niż pisać.

Kalkuluj, gdzie tylko możesz

Współczesne czasy dostarczają jeszcze więcej rachunkowych wyzwań. Kiedy nastawiamy budzik, żeby obudził nas za osiem godzin, to dokonujemy w myślach matematycznej operacji dodawania modulo 24. Przykładowo: idąc spać o godzinie 22, powinniśmy nastawić budzik na godz. 6 rano, bo 22+8 (mod 24) = 6. 

Gdy mamy przepis kuchenny na potrawę dla trzech osób, a chcemy zrobić obiad dla sześciu, to wszystkie składniki podwajamy, a jeśli będzie tylko pięciu stołowników, to powinniśmy pomnożyć je przez 5/3. Podobne obliczenia nas czekają, kiedy trzeba odmierzyć, ile mililitrów środka na mszyce rozcieńczyć w 1,5 litra wody, żeby spryskać róże. Całkiem niedawno musiałem dokonać takiego przeliczenia z hektara na metr kwadratowy, bo kupiłem środek owadobójczy w przemysłowym opakowaniu.

Jeśli malujemy ściany w domu, to musimy kupić odpowiednią ilość farby. Na ogól sprawdzamy więc, na ile metrów kwadratowych starcza jedno opakowanie, a potem obliczamy, jaką powierzchnię mamy do pomalowania. Uff, jeśli geometria mieszkania nie jest prosta, to mogą być już całkiem poważne rachunki, a pomyłkę odczujemy w naszej kieszeni, gdy kupimy za dużo farby.

Matematyka pozwoliła mi uniknąć grubego błędu, kiedy zbijałem półki na książki w gabinecie. Chciałem, aby sięgały do samego sufitu, ale jeśli półkę skręca się na podłodze, to gdy jej długość jest dokładnie równa wysokości pomieszczenia, nie da się jej postawić, bo zahaczy krawędzią o sufit! Powinna być nieco niższa. Żeby ustalić, jak bardzo, trzeba zastosować twierdzenie Pitagorasa.

Niestety, całkiem już bezmyślnie kupiłem materac do sypialni. Muszę tu wyjaśnić, że do mojej sypialni wchodzi się przez szafę, więc wejście jest sporo węższe i niższe niż standardowe drzwi do pokoju.

A ja kupiłem materac szeroki na dwa metry i dość gruby (prawie 40 cm). I dopiero kiedy z trudem go wniosłem do domu, zdałem sobie sprawę z tego, że nie zmieści się w drzwiach do sypialni! Pod żadnym kątem. 

Na szczęście mimo swej grubości był na tyle elastyczny, że mogłem go w połowie lekko zgiąć i jakimś cudem wpasował się otwór wejściowy. Możecie tę historię potraktować jako przestrogę, zanim kupicie telewizor plazmowy o zbyt wielkiej przekątnej, żeby go wnieść przez drzwi lub okno. Chyba że będzie to ekran elastyczny wykonany w technologii OLED i będzie go można zagiąć.

Już dziecko widzi świat oczami matematyka

Jeśli już mowa o zginaniu, matematyka pozwala zabłysnąć w towarzystwie. Spróbuj poprosić kogoś, aby zgiął na pół kartkę papieru, a potem całość jeszcze raz na pół. I potem spytaj, czy można w ten sposób zgiąć kartkę 10-krotnie? Nikomu się nie uda, można się założyć o grube pieniądze.

Zwykłej kartki A4 o grubości 0,1 mm nie dasz rady złożyć na pół więcej niż osiem razy. Złożona na pół podwaja grubość. Ponownie złożona - będzie cztery razy grubsza. Jej grubość rośnie tak jak kolejne potęgi liczby 2. Po 23 złożeniach osiągnęłaby grubość kilometra, po 42 - dosięgnęłaby Księżyca, a po 103 razach - jej grubość przekroczyłaby obecną średnicę widzialnego Wszechświata (to ok. 90 mld lat świetlnych). Oczywiście, gdyby miała dostatecznie duży rozmiar, żeby jej wystarczyło do tego wielokrotnego zginania.

To jest bardzo zaskakujące, bo nasz umysł nie docenia siły potęgowania. Dlatego też tak wielu z nas daje się nabrać na popularne oszustwo, jakim są tzw. łańcuszki finansowe, kiedy każdy kolejny uczestnik - żeby zarobić - musi wciągnąć do interesu kilku nowych.

Ale co ciekawe, wiele konceptów matematycznych mamy od urodzenia wdrukowanych w nasze mózgi, po prostu już się z nimi rodzimy. Na przykład intuicyjnie rozumiemy własności i twierdzenia geometrii euklidesowej. 

Kiedy nauczycielka w pierwszej klasie poleca dzieciom przerysować literę A z tablicy, to każdy uczeń jest przekonany, że w swoim zeszycie wykreśla to samo, co nauczycielka narysowała kredą. Ale to wcale nie to samo. Litera A na tablicy musi być na tyle duża, żeby ją mogli zobaczyć nawet Jaś i Ewa z ostatniej ławki, a więc przerysowana w skali 1:1 nie zmieściłaby się w zeszycie.

W rzeczywistości dzieci rysują figurę podobną, czyli mającą ten sam kształt, ale różniącą się wielkością. Figury podobne badali jako pierwsi pitagorejczycy, a najważniejszym dokonaniem jest tu twierdzenie Talesa, które intuicyjnie stosujemy, np. przerysowując coś z tablicy do zeszytu.

Gdyby nasz świat miał inną geometrię, taka nauka nie byłaby możliwa. W geometriach nieeuklidesowych proporcje nie zostają zachowane przy zmianie skali. Nauczenie dzieci pisania na planecie w pobliżu czarnej dziury, gdzie przestrzeń jest zakrzywiona (nieeuklidesowa), byłoby więc koszmarem.

A może wtedy ewolucja wyposażyłaby nas w inną intuicję?

_____________

PS Koło nie jest jedyną figurą o stałej szerokości (na co zwrócił uwagę w komentarzach spectraltheorem). W szczególności niewpadające włazy mogłyby mieć kształt Trójkąta Reuleaux, który sam w sobie jest niezwykle interesującą figurą. Przypomina trójkąt równoboczny, który zamiast prostych boków ma łuki. Taki kształt mają np. tłoki w silnikach Wankla, a także wiertła, które potrafią wiercić prostokątne dziury!