Najdłuższy dowód matematyczny w dziejach. Żaden człowiek nigdy go nie przeczyta

W latach 80. zeszłego wieku amerykańskiego matematyka Ronalda Grahama zaciekawiło, czy da się tak pokolorować wszystkie liczby naturalne z użyciem tylko dwóch barw - czerwonej i niebieskiej - aby żadna z trójek pitagorejskich nie była jednobarwna, tj. jedna z trzech liczb wchodzących w skład każdej trójki miała odmienną barwę niż dwie pozostałe.

Graham zaoferował 100 dol. dla tego, kto rozwiąże zagadkę, ale przez trzy dekady nikomu się to nie udało. Dopiero na początku maja tego roku w serwisie Arxiv.org ukazała się praca , w której Marijn J. H. Heule z Uniwersytetu Teksaskiego, Oliver Kullmann z Uniwersytetu Swansea i Victor W. Marek* z Uniwersytetu Kentucky dowodzą, że zadanie Grahama jest niewykonalne. Nie da się tak pokolorować liczb naturalnych na czerwono i niebiesko, aby wszystkie trójki pitagorejskie były dwubarwne, tj. niebiesko-czerwone.

W praktyce wygląda to tak, że napisali oni program komputerowy, który sprawdzał wszystkie sposoby, w jakie można pokolorować liczby. Okazało się, że aż do liczby 7824 komputer radził sobie z doborem barw, ale kiedy włączył do analizy kolejną liczbę - 7825, to niezależnie od tego, jak kolorował liczby naturalne, zawsze zdarzała się taka trójka pitagorejska, w której wszystkie liczby miały tą samą barwę.

Człowiek nie byłby w stanie takiej analizy przeprowadzić ręcznie. Liczba sposobów, na jakie można pokolorować 7825 liczb naturalnych, przekracza 102300 . Jest więc większa (znacznie!) niż liczba wszystkich cząstek elementarnych, z jakich składa się widzialny Wszechświat. Wprawdzie amerykańscy matematycy wykorzystali różne symetrie i techniki, aby zmniejszyć liczbę tych możliwości do mniej więcej biliona, ale zadanie wciąż przekraczało ludzkie możliwości. Superkomputerowi Stampede Uniwersytetu Teksaskiego - jednemu z największych w USA - analiza biliona sposobów barwienia liczb zajęła dwie doby. A końcowe dane zajmują ok. 200 trabajtów.

- To niewiarygodne - komentuje dla "Nature" Ronald Graham. Poprzedni rekordzista wśród komputerowych dowodów - z 2014 roku - zajął "ledwie" 13 gigabajtów.

Nie wszystkim matematykom podobają się tego typu dowody matematyczne, wielu sądzi, że można znaleźć prostszy (bardziej "ludzki"?) sposób, aby dowieść lub obalić hipotezę.

Jednym pierwszych dowodów matematycznych przeprowadzonych z użyciem komputera było zagadnienie czterech barw. W 1976 roku udało się dowieść, że każdą mapę narysowaną na kartce papieru można pokolorować za pomocą czterech barw w taki sposób, że państwa mające wspólną granicę otrzymają różne kolory. Wynik z początku budził mieszane uczucia matematyków, gdyż dowód po raz pierwszy korzystał z obliczeń komputerowych i bez użycia komputera nikt nie był w stanie sprawdzić jego poprawności.

Tym razem jest podobnie. Nie ma żadnej nadziei na to, aby istota ludzka była w stanie sprawdzić samodzielnie wszystkie sposoby pokolorowania liczb. Co najwyżej możemy przeanalizować algorytm działania komputera i upewnić się, że nie ma w nim błędu. Nadeszły czasy, gdy trzeba zaufać komputerom także w matematyce - w innych dziedzinach już polegamy na nich na co dzień, choć często nie zdajemy sobie z tego sprawy.

Z drugiej strony wielu matematyków wciąż wierzy w to, że istnieje droga na skróty, dzięki której uda się dowieść twierdzenia o barwieniu trójek pitagorejskich w sposób tradycyjny. Zwłaszcza że komputer - a przynajmniej współczesna klasyczna jego wersja - nie będzie w stanie zrobić wszystkiego. Jedna z hipotez mówi na przykład, że nawet z użyciem większej liczby barw (byle skończonej liczby) nie da się pokolorować liczb naturalnych w taki sposób, aby każda trójka pitagorejska była różnobarwna. Takiej hipotezy nie obali komputer, sprawdzając wszystkie możliwości - bo w tym wypadku liczba możliwości jest przecież nieskończona. Tutaj na pomysłowe rozwiązanie musi wpaść ludzki umysł.

Na razie jednak komputer jest górą - Ronald Graham wręczył obiecany czek na 100 dol. trzem amerykańskim matematykom, którzy zaprogramowali teksaski superkomputer.

Źródło: Nature

*Victor W. Marek jest polskim matematykiem, absolwentem Uniwersytetu Warszawskiego, który także doktoryzował się i habilitował na Uniwersytecie Warszawskim. Od 1983 roku pracuje w USA.