Hotel Hilberta. Numerato i Detektywikus wyruszają na spotkanie z nieskończonością

Otóż właściciel hotelu Hilberta, tego, którego korytarzami właśnie spacerujemy, o nazwisku Alefezer, twierdzi, że ostatnio dzieją się tu dziwne, w jego mniemaniu niewyjaśnione, rzeczy. Od mniej więcej miesiąca hotel jest wypełniony gośćmi po samiutkie brzegi, to znaczy każdy jednoosobowy pokój - innych pokoi tutaj nie uświadczysz - jest zajęty. Co? Nie wiem, dlaczego są tylko jednoosobowe! To zupełnie nie jest istotne w żadnym wnioskowaniu! Dalej. Każdego dnia do hotelu przychodzą nowe osoby - jakimś cudem udaje im się przemknąć koło recepcji, widać to na nagraniach i... niedokładnie wiadomo, co dzieje się potem. Pukają do drzwi zajętych pokoi, siedzący w pokojach wychodzą, gdzieś się przeprowadzają, następnie ci, którzy pukali, chowają się w pokojach. W hotelu nie ma ani jednego pustego pokoju, do którego mogliby wejść. Pomieszczenia są tak małe, że w żadnym razie nie ma możliwości, żeby mieszkały czy nawet przebywały w nim dwie osoby. Nie wiem, dlaczego ludzie tak chętnie mieszkają w pokojach, w których ledwo się mieszczą! To nie ma związku! Zresztą na nagraniach nie znaleziono żadnego przypadku, w którym dwie czy więcej osób weszłoby do jednego pokoju. Żaden z lokatorów od miesiąca nie opuścił ścian budynku, a każdego dnia gości przybywa. Wszystko wygląda tak, jakby lokatorów cały czas było dokładnie tyle samo co pokoi, ponieważ w każdym hotelowym pokoju przebywa dokładnie jedna osoba. Ale skoro osób przybywa, a pokoje są zajęte i w żaden magiczny sposób ich liczba nie może się zwiększać, "nadmiarowe osoby" były już intensywnie poszukiwane przez hotelowy personel. Nie znaleziono nic, co prowadziłoby na jakikolwiek trop. Wygląda na to, że każdy gość grzecznie sam siedzi w swoim pokoju, poza momentami, kiedy na korytarzu robi się rozgardiasz.

Tak wygląda wersja wydarzeń szanownego pana Alefezera - a naszym zadaniem jest stwierdzić, co tu się tak naprawdę dzieje, gdzie podziewają się nadmiarowe osoby! Sensownych rozwiązań jest co najmniej kilka. Być może pokoi w hotelu jest znacznie więcej, niż sądzi Alefezer - choć zdecydowanie powinien znać ich liczbę, toż to jego hotel. Pomysł, że nowo przybyli przebierają się za pomoc hotelową, dlatego nie można ich zidentyfikować, odrzuciłem - Alefezer zna personel osobiście i jest w 100 proc. pewny, że tak się nie dzieje. Inne możliwe wyjście jest takie, że nowi goście siedzą na dachu, balkonach, w szybach wentylacyjnych, gdziekolwiek, a z powodu korytarzowego zamieszania nie udało się dostrzec ich wymykania się. Mam nadzieję, że się ze mną zgadzasz, drogi... - oj, przepraszam, nie pamiętam twojego imienia. Pozwól, że będę do ciebie mówił Numerato. Tak zazwyczaj nazywam moich młodych, zdolnych asystentów, kiedy mam problem z zapamiętaniem ich imienia - a co jakiś czas takowy problem mam. Musisz mi wybaczyć. Ach! Musisz mi wybaczyć! Musisz mi wybaczyć! Wróćmy do sprawy, Numerato!

Alefezer twierdzi, że do hotelu, w którym wszystkie pokoje jednoosobowe są zajęte, każdego dnia przybywają nowi goście. Jedynym miejscem, gdzie można zastać gości, są ich pokoje, zawsze jeden gość w jednym pokoju. I jeszcze korytarz - z dziwną plątaniną. Jakieś pomysły? Na początek poobserwujmy. Zobaczmy, co dzieje się z nowo przybyłymi.

Po trzech godzinach spaceru dotarli z powrotem do recepcji, skąd mogli obserwować wchodzących do hotelu. Nie musieli długo czekać, weszła jedna osoba. Przeszła bezszelestnie koło recepcji i udała się w stronę pokoju z numerem jeden. Dyskretnie zapukała i w tym momencie otworzyły się wszystkie pokojowe drzwi w zasięgu wzroku, z każdego pokoju wyszła jedna osoba. Następnie został wykonany pewien prosty manewr. Gość z pokoju numer 1 wszedł do drzwi z numerem 2. Gość z pokoju numer 2 wszedł do pokoju numer 3. Gość z pokoju 3 wszedł do pokoju 4. Wszyscy goście w zasięgu wzroku Detektywikusa i twoim postąpili według analogicznej zasady, przechodząc do pokoju z numerem o jeden wyższym niż ten, w którym znajdowali się przed chwilą. Wszyscy zrobili to w jednym momencie, z niezwykłą ostrożnością, wydając przy tym dźwięki, których głośność porównywalna była z odgłosem opadających liści. Na końcu nowy gość wszedł do pustego pokoju numer 1.

Sprawa jest prosta, jeżeli absolutnie wszyscy postąpili w ten sposób, to w ostatnim pokoju znalazły się dwie osoby! - odkrywczo oświadczył Detektywikus, zdecydowanie głośniej, niż było to konieczne. Wystarczy sprawdzić ostatni pokój - powiedział już nieco ciszej, widząc twój karcący wzrok. Pomysł nie brzmi skomplikowanie, ale ostatnim razem piesza wycieczka trwała 3 godz. i nie było widać końca korytarza. Niezależnie od liczby pokoi w hotelu, gdyby wszyscy goście przeprowadzili się według zasady, że wybierają pokój z numerem o jeden większym, to zawsze ostatniemu zabrakłoby miejsca. Jeżeli pokoi byłoby 5000, to wszyscy znaleźliby nowe lokum, poza gościem z pokoju 5000, bo nie byłoby pokoju z numerem 5001. Gdyby pokoi było 123 456 789, to gość z pokoju o najwyższym numerze również nie miałby dla siebie miejsca. Ale... załóżmy hipotetycznie, na moment, że pokoje hotelowe mają WSZYSTKIE numery, to znaczy 1, 2, 3, 4, 5... 5000, 5001, 5002... 123 456 789, 123 456 790... 1 000 000 000, 1 000 000 001... i tak do "samego końca" - którego nie ma. Wszystkie, czyli jeżeli wskażemy dowolny numer, to w hotelu jest pokój z takim właśnie numerem oraz z numerem wyższym nie tylko o 1, o 2, ale o 157 i więcej również. Jakkolwiek duży numer nie zostanie wymyślony, zawsze znajdzie się wyższa liczba. Liczby, które pojawią się na drzwiach tego hotelu, nazywamy liczbami naturalnymi - bo jakoś tak naturalnie naukę liczenia rozpoczynamy od 1, 2, 3, 4... A w miarę postępu liczmanistycznych umiejętności potrafimy wymienić wszystkie liczby od 1 do dowolnie dużej, którą sobie umyślimy.

W sytuacji gdyby pokoje były ponumerowane wszystkimi liczbami naturalnymi, ich numery nie miałyby końca, czyli byłoby ich nieskończenie wiele. Dziwne, a nawet niewykonalne, ale nasza wyobraźnia bez problemu umożliwi stworzenie takiego hotelu. Jeżeli się wytężymy, to wielkość budynku i obsługa potrzebna do funkcjonowania takiego nieskończonego miejsca nie będzie problemem.

Cóż w takiej sytuacji? Otóż, gdyby pokoi hotelowych było tyle co wszystkich liczb naturalnych, wtedy każdy gość znalazłby dla siebie lokum z wyższym numerem, niezależnie od tego, jaki był jego pierwotny numer pokoju. W takim też przypadku nie ma możliwości, żeby znaleźć ostatni pokój. Po przyjściu nowego gościa każda osoba może przenieść się do pokoju obok, problem osoby z pokoju o najwyższym numerze nie istnieje. Pierwszy pokój bezproblemowo został zwolniony. Gdy liczba gości zwiększyła się o jeden, a liczba pokoi pozostała bez zmian, to liczba pokoi i gości nadal są sobie równe. Mimo że pokoi nie przybyło. Hmm...

Jeżeli w hotelu znajduje się dziesięcioro gości i pojawi się jeden dodatkowy, to oczywiste jest, że liczba gości się zwiększyła. Potrzebujemy jednego pokoju więcej, żeby mógł się zakwaterować. Jeżeli wszystkie pokoje są zajęte, to nowa osoba nie znajdzie dla siebie lokum. W hotelu z nieskończoną liczbą pokoi, jeżeli wszystkie są zajęte i przychodzi jeden dodatkowy gość, nie musimy zwiększać liczby pokoi. Wszystkich osób wraz z nowym gościem jest tyle samo co pokoi, czyli dokładnie tyle, ile było, zanim przyszedł nowy gość.

Nieco to zagmatwane, daj mi chwilę, żebym poukładał to sobie w mojej głowie - powiedział Numerato i zadumał się na siedem długich chwil. W tym czasie Detektywikus nie zdradzał oznak zdziwienia. Nie minęły kolejne 43 min, a do hotelu Hilberta wchodzą dwie osoby. Sytuacja jest podobna do poprzedniej. Nowi przybysze pukają do pokoi z numerami 1 i 2. Wszyscy lokatorzy wychodzą ze swoich pokoi, korytarz robi się pełny i tym razem każdy przechodzi do pokoju z numerem o dwa wyższym niż numer pokoju, w którym był. Tym sposobem gość z 1 przechodzi do 3, gość z 2 przechodzi do 4, gość z 100 przechodzi do 102, gość z 4567 przechodzi do 4569. Ponownie każdy znalazł swoje miejsce. Pokoje z numerami 1 oraz 2 są wolne i tam wchodzą nowi goście. W każdym pokoju jest teraz dokładnie jedna osoba, czyli jest tyle samo pokoi co gości hotelowych.

Numerato, który uprzednio przez siedem długich chwil zdążył strawić temat nieskończonej liczby pokoi, błyskawicznie pojął analogię między obiema sytuacjami. Umysł Detektywikusa miał natomiast spore problemy gimnastyczne przy wyobrażaniu sobie takiego rozwiązania. Nieskończona liczba pokoi. To nie brzmiało dla niego rozsądnie mimo twoich cierpliwych objaśnień. Gdy zobaczył to, o czym za moment, jego wyobraźnia się zatrzymała i wydawać by się mogło, że cały Detektywikus przestał na moment działać. Temperatura w całym pokoju nieznacznie się podniosła, co prawdopodobnie było wynikiem ciężkiego przetwarzania informacji, które zachodziło w jego głowie. Na korytarzu pojawili się nowi goście, każdy miał walizkę, pierwszy z numerem 1, drugi z numerem 2, trzeci z numerem 3 itd. Na walizkach pojawiły się wszystkie liczby naturalne 1, 2, 3, 4... Mamy dwie grupy, jedna w pokojach o numerach 1, 2, 3, 4..., druga na korytarzu wraz z walizkami o numerach 1, 2, 3, 4... Oznacza to, że jedna i druga grupa liczy tyle samo osób. Goście znajdujący się w pokojach nie mogą przeprowadzić się do pokoju o jeden czy dwa numery wyższego, bo na korytarzu w dalszym ciągu będzie stało mnóstwo osób. Przesunięcie się o 1000 czy 1 000 000 pokoi również na nic się zda.

Zaszła rzecz następująca, nowi goście stanęli przed drzwiami, które miały taki sam numer jak na ich walizce. Dotychczasowi lokatorzy wyszli. Osoba z pokoju 1 przeprowadziła się do pokoju 2. Osoba z pokoju 2 przeprowadziła się do pokoju 4, osoba z pokoju 3 przeprowadziła się do pokoju 6. Jak się można domyślić, gość z 4 przeszedł do 8, a gość z 5 do 10. Niezależnie od dotychczasowego pokoju lokator mnożył jego numer przez 2 i otrzymywał numer pokoju, do którego następnie się udawał. Nawet jeżeli numer pokoju był bardzo duży, to nie stanowiło to problemu w hotelu z nieskończenie wieloma pokojami. Lokum z dwa razy wyższym numerem zawsze się znalazło. Im wyższy numer, tym goście mieli dłuższą drogę do pokonania, ale to na szczęście nie jest nasz problem.

Po opisanych przeprowadzkach wszyscy dotychczasowi lokatorzy znaleźli nowe pokoje, zwalniając przy tym pokoje z numerami 1, 3, 5, 7, 9... , czyli z numerami nieparzystymi. Cóż zrobili nowo przybyli? Gość z walizką numer 1 wprowadził się do pokoju 1, gość z walizką numer 2 wprowadził się do pokoju 3, gość z walizką numer 3 do pokoju 5. Gość z walizką numer 30, żeby znaleźć swój pokój, pomnożył numer walizki przez 2 i od wyniku odjął 1, czyli przeniósł się do pokoju 59. Gość z walizką 100 przeniósł się do pokoju 199. Tym sposobem każdy gość znalazł numer pokoju, do którego się wprowadził. Wcześniejsi lokatorzy znaleźli się w pokojach o numerach 2, 4, 6, 8, a nowi 1, 3, 5, 7... , w każdym pokoju jedna osoba. Wszystkich gości jest dokładnie tyle samo co pokoi w hotelu. Przed wprowadzeniem się nowych osób dotychczasowych gości również było tyle samo co pokoi. Tak to już jest, kiedy w grę wchodzą nieskończone liczby pokoi i walizek. Nasza intuicja zaczyna nas nieco zawodzić, ale z matematycznego punktu widzenia wszystko jest w zgodne z prawdą i nieskończoną naturą.

W powrocie do świata sprawnych i działających pomógł Detektywikusowi Numerato, skrapiając go odrobiną zimnej wody. Młody elastyczny umysł okazał się dużo bardziej podatny na tego typu gimnastykę. Ale to nie koniec wrażeń tego dnia. Kiedy Detektywikus doszedł do siebie, pod hotel podjechał autokar pełen osób z walizkami o numerach 1, 2, 3. Za pierwszym autokarem pojawił się drugi, trzeci, czwarty i tak dalej, autokary były ponumerowane wszystkimi liczbami naturalnymi. W każdym autokarze tyle samo osób co w pierwszym. Tym razem istny tabun ludzi przemknął niepostrzeżenie koło recepcji (swoją drogą recepcjonistkę należy poddać szczegółowym badaniom spostrzegawczości), a na korytarzu zrobiło się naprawdę gęsto. Znów było pukanie, bałagan, przenoszenie. Czy każdy znalazł pokój dla siebie? Czy wszystkim udało się schować do pokoju? Czy Detektywikus poradził sobie z nadmiarem wrażeń? To nieco dłuższa opowieść, ale spróbuj sobie wyobrazić, co zaszło.

*Kamila Łyczek - doktorantka matematyki na UW, redaktor miesięcznika "Delta" (www.deltami.edu.pl), wykładowca Uniwersytetu Otwartego, nauczyciel matematyki w Centrum Edukacyjnym Matplaneta, wykładowca na Uniwersytecie Dzieci. Zakochana w matematyce. Pasjonatka książek i czasopism popularnonaukowych. Wyznaje zasadę, że matematyka to szkoła zaawansowanej wyobraźni, a wyobraźnię tak jak inne umiejętności można trenować.