21 września 1997 roku podczas rejsu u wybrzeży Wirginii krążownik rakietowy USS "Yorktown" zadygotał, a zaraz potem zastygł bez ruchu. Okręt wartości miliarda dolarów uległ groźnej awarii.
W komputerach krążownika zainstalowano nowe oprogramowanie, dzięki któremu zredukowano załogę i zaoszczędzono miliony dolarów. Nikt jednak nie zauważył, że okręt stał się bezbronny wobec zera, które jeden z operatorów wpisał w nieodpowiednim miejscu. Kiedy dane zostały pobrane przez program, nastąpiła katastrofa. Komputer pokładowy usiłował wykonać dzielenie przez zero, co skończyło się zawieszeniem programu, zgaśnięciem wszystkich konsol w sterowni i zatrzymaniem potężnych silników o mocy 80 tys. koni mechanicznych. Krążownik stał się dryfującą kupą stali. Dopiero po trzech godzinach udało się włączyć w maszynowni awaryjne układy sterowania i okręt powlókł się do portu.
Żadna inna liczba nie mogła wyrządzić takich szkód. Zero jest wyjątkowe. Dodanie czy odjęcie zera nie zmieni wyniku. Ale już pomnożenie dowolnej liczby przez zero daje w wyniku zawsze zero. Wskutek tej operacji cała nieskończona oś liczbowa kurczy się do punktu zero. Natomiast dzielić przez zero w ogóle nie można. Ta operacja jest nieokreślona. Niekiedy mówi się, że w jej wyniku uzyskujemy "nieskończoność". Jak gdyby tym razem punkt zerowy "rozciągał się" w całą oś liczbową, bo dzielenie to odwrotność mnożenia, ale w arytmetyce nie ma to sensu. Dlatego komputer krążownika "Yorktown" zgłupiał i zaprzestał dalszego wykonywania kodu.
Nie bez przyczyny od tej awarii Charles Seife rozpoczął swoją książkę o dziejach zera - "Zero. Niebezpieczna idea". Jak się okazuje, to bardzo niebezpieczna liczba.
Zero sprawiało kłopoty od dawna, choć jego dziejów nie da się rozpocząć od "już starożytni Grecy". Bo akurat Grecy, którzy rozwinęli logikę i geometrię stanowiącą podstawę całej współczesnej matematyki, zera nie znali. To dlatego w naszym kalendarzu nie ma roku zerowego (i do dziś mamy kłopot z ustalaniem, w którym roku kończą się stulecia), bo gdy w VI wieku mnich Dionizy Mniejszy ustalał początek ery chrześcijaństwa i nowego kalendarza, to zaczął go od roku 1.
Dla pitagorejczyków kluczem do zrozumienia natury były proporcje i geometria. Zero nie miało sensu geometrycznego, nie reprezentowało żadnej figury i żadnej proporcji. Stosunek zera do czegokolwiek zawsze wynosi zero, natomiast dzielenie dowolnej liczby przez zero - jak już widzieliśmy - prowadzi do katastrofy, bo nie da się ustalić logicznego rezultatu. Tymczasem dla Pitagorasa i jego uczniów wszystko, co sensowne we Wszechświecie, powinno być wzajemnie powiązane przez proporcje. Zero w ogóle nie miało kształtu, więc było z greckiej filozofii wykluczone.
Nawet pijaństwo jest liczbą. Jak zaczęła się matematyka. Wielkim wstrząsem dla pitagorejczyków było odkrycie liczb niewymiernych (takich jak np. ? czy pierwiastek z dwóch), których nie da się wyrazić przez proporcje. Według legendy trzymali to odkrycie w tajemnicy, a Hipassus z Metapontum, który zdradził sekret, miał być nawet za karę okrutnie uśmiercony. Nic dziwnego, że jeśli nawet jakiemuś greckiemu filozofowi zero przyszło do głowy, to nie śmiał pisnąć o nim słowa.
Dziś może nam się wydawać dziwne, że można było uprawiać matematykę, układać kalendarze i tworzyć zaawansowaną technikę bez zera, ale ludzie nauczyli się kalkulować, bo chcieli sobie poradzić z operowaniem i zapisem dużych liczb. Małe ilości można było porachować na palcach. A jeżeli nie było żadnych elementów - czyli ich liczba była równa zeru, jak dzisiaj mówimy - to nikt się przecież w ogóle nie zabierał do liczenia, bo po co.
Najbardziej prymitywnym zapisem liczb było nacinanie karbów na kości lub patyku. Jedno nacięcie odpowiadało jednej zliczanej rzeczy. Ten zwyczaj przeniósł się na papier, na którym rysowano kreski. Przy dużych ilościach rysowanie mnóstwa kresek stawało się w pewnym momencie niepraktyczne. Nasuwającym się rozwiązaniem było zastępowanie całej grupy kresek pojedynczym symbolem, czyli cyfrą. Taka jest geneza rzymskiej notacji. Liczbę pięć, czyli pięć kresek, zastępuje tam jedna cyfra V. Podobnie cyfra X zastąpiła dziesięć kresek, L = 50, C = 100, D = 500, a M = 1000. Zamiast ciągu 1852 kresek wystarczyło więc napisać MDCCCLII. Podobnie radzili sobie Egipcjanie - jedność oznaczali kreską pionową, dziesiątkę - znakiem przypominającym odwróconą literę U, setkę - spiralą, tysiąc - kwiatem lotosu, 10 tys. - podniesionym zgiętym palcem itd.
Kluczową rolę grały zazwyczaj wielokrotności liczby dziesięć, co było niewątpliwie związane z liczbą palców u rąk. Ale już np. Babilończycy stosowali system sześćdziesiątkowy, nie do końca zresztą wiadomo dlaczego. Jego ślady pozostały do dziś w podziale godziny i kąta w geometrii na 60 minut. Były też układy piątkowe (u ludów Afryki i Oceanii), dwunastkowe (stąd pojęcia tuzina i kopy) i dwudziestkowe (u Celtów).
Zarówno w systemie hieroglificznym egipskim, jak i w numeracji greckiej, rzymskiej czy hebrajskiej cyfry miały ustaloną wartość niezależnie od miejsca, na którym stoją. Po prostu sumowało się ich wartość, żeby odczytać wartość całej liczby.
Od zera do googola. Bestiarium matematyczne.
Wielkim przełomem w zapisie liczb było wynalezienie zasady pozycyjnej. O co w niej chodzi? Podczas gdy rzymska cyfra V zawsze znaczy pięć, niezależnie do tego, w jakim jest zapisana miejscu, to w pozycyjnym systemie dziesiętnym cyfra pięć ma różną wartość, gdy ją umieścić na pierwszym, drugim, trzecim, czwartym miejscu od końca - znaczyć będzie wtedy odpowiednio pięć, 50, 500 lub 5000.
Korzyści z tego powodu jest wiele. Po pierwsze, nie trzeba już wymyślać osobnego symbolu dla dziesięciu, setki, tysiąca itd., bo można je wyrazić pozycją jednej i tej samej cyfry w zapisie liczby. Wystarczy więc na przykład tylko alfabet dziesięciu cyfr, by zapisać wszystkie możliwe liczby (w najbardziej minimalistycznym systemie dwójkowym, jakiego używają dziś komputery, potrzeba tylko dwóch cyfr!). Po drugie, system pozycyjny niesłychanie uprościł rachunki, które np. w notacji rzymskiej są piekielnie trudne.
I dopiero w tym momencie na arenę dziejów wkroczyło zero. Na początku jako znak, który oznaczał brak. Zauważmy bowiem, że w systemie pozycyjnym pojawia się potrzeba oznaczania pustego miejsca, jak na przykład w zapisie liczby 503. Mamy tu pięć setek, trzy jedności i ani jednej dziesiątki. Brak dziesiątek symbolizuje właśnie znak 0.
System pozycyjny stosowali już Babilończycy, ale zero wraz z systemem dziesiętnym, jaki znamy dzisiaj, pojawiły się dopiero około V wieku naszej ery w północnych Indiach. Najstarszym dziełem, w którym znajduje się opis systemu, jest "Lokavibhagi" z 28 sierpnia 458 roku.
Hindusi określali zero mianem sunya, co znaczyło "puste miejsce". Arabowie przetłumaczyli to jako sifr, a europejscy tłumacze - jako cyfra. Tak więc słowo cyfra na początku oznaczało samo zero.
Gdy już się pojawiło, od razu zaczęło robić karierę wykraczającą poza techniczną rolę, jaką na początku mu wyznaczono. Po upływie pół wieku zero oznaczało już w Indiach nie tylko puste miejsce, ale też "nic", wynik operacji odejmowania, po której nic nie zostaje, a więc wzbogaciło się o znaczenie, jakie dzisiaj nadajemy wartości zerowej.
Aż do końca średniowiecza Europejczycy byli przywiązani do archaicznego systemu rzymskiego i z nieufnością patrzyli na wszelkie nowinki w tej dziedzinie. Tym bardziej że używanie cyfr arabskich w czasach wojen krzyżowych było czymś w rodzaju ulegania wrogiej propagandzie.
Wydane w 1299 roku statuty "Arte del Gambio" zakazywały używania cyfr arabskich w księgach handlowych - sporządzone z ich udziałem dokumenty nie miały żadnej mocy prawnej. W księgach rachunkowych Medici cyfry arabskie pojawiły się wprawdzie w 1406 roku, ale przez kolejne dziesiątki lat nie zapisywano ich w kolumnie przeznaczonej dla oczu fiskusa.
Dopiero pod koniec XVI wieku hinduski system dziesiętny upowszechnił się na naszym kontynencie, a jego triumf ostatecznie przypieczętowała rewolucja francuska.
Teraz już nie wyobrażamy sobie rachunków ani matematyki bez zera. To potężna liczba. W teorii mnogości wykazuje się, że wszystkie liczby naturalne (a więc jeden, dwa, trzy, cztery, pięć itd.) można skonstruować z zera, czyli ze zbioru pustego. W jaki sposób? Liczba jeden to zbiór, którego jedynym elementem jest zbiór pusty (dokładna definicja mówi, że jeden to "klasa wszystkich zbiorów równolicznych ze zbiorem złożonym tylko ze zbioru pustego"). Dwa to zbiór dwuelementowy, złożony ze zbioru pustego i jedynki. I tak dalej, trzeba tylko cierpliwie dodawać do siebie jedynki.
Kiedyś wielki niemiecki matematyk Leopold Kronecker powiedział, że "liczby naturalne stworzył dobry Bóg, reszta zaś jest dziełem człowieka". Można by go poprawić i rzec, że Bogowi wystarczyło stworzyć zero.
Fizyk mógłby tu dodać, że także do stworzenia świata wystarczy nic, czyli próżnia. Oczywiście poruszamy się w kręgu hipotez, bo nauka wciąż nie potrafi odpowiedzieć wyczerpująco na fundamentalne pytanie, skąd się wziął Wszechświat. "Na początku był wybuch, ale nie wiadomo, czego to był wybuch, ani - dlaczego miał miejsce". Tak przed wielu laty popularny polski miesięcznik matematyczno-fizyczny "Delta" pisał o genezie kosmosu i do dziś niewiele więcej się wyjaśniło.
Jedna z najciekawszych koncepcji mówi jednak, że Wszechświat powstał... z niczego. Pierwszym, który na poważnie rozważał tę możliwość, był Edward Tryon pracujący w City University w Nowym Jorku. Jego hipoteza opiera się na spostrzeżeniu, że energia grawitacyjna ma przeciwny znak niż wszystkie inne rodzaje energii. Jeśli więc energia grawitacyjnego ciążenia wszystkich ciał w kosmosie dokładnie równoważy energię związaną z ich masami, ruchem, ciepłem, promieniowaniem etc., to znaczy, że łączna wartość energii Wszechświata jest równa zeru. Stworzenie całej materii nic by wtedy nie kosztowało. Bilans energii się zgadza, tj. przed stworzeniem Wszechświata było zero, po stworzeniu - też w sumie jest zero.
Jeśli to was dziwi, to jesteście w dobrym towarzystwie. George Gamow w swej autobiografii opisuje, jak na spacerze z Albertem Einsteinem wspomniał o tym, iż gwiazdę można stworzyć z niczego, bo - jak zauważył jeden z kolegów - jej ujemna energia grawitacyjna dokładnie kasuje się z dodatnią energią jej masy (liczoną zgodnie ze słynnym wzorem E = mc2 ). Zdumiony Einstein stanął i na długą chwilę się zamyślił, a ponieważ fizycy przechodzili wtedy przez jezdnię - jak wspomina Gamow - omal nie zostali rozjechani.
Fizyk Allan Guth, wielki zwolennik tej hipotezy, mówi: "W ekonomii podobno nie ma takiego pojęcia jak darmowy obiad, ale w fizyce jest do pomyślenia, by Wszechświat był właśnie takim wielkim darmowym obiadem".
Na razie jeszcze nikomu nie udało się tego udowodnić, nie ma wciąż teorii, która potrafi poradzić sobie z opisem Wielkiego Wybuchu, a ogólna teoria względności Einsteina, dziś używana do odkrywania dziejów Wszechświata, załamuje się w tym kluczowym momencie, bo w jej równaniach pojawia się... dzielenie przez zero. A już wiemy, czym to się kończy.
Ten zerowy punkt, w którym zaczyna się czas, a materia osiąga nieskończoną (czytaj: nieokreśloną) wartość gęstości i temperaturę, fizycy nazwali osobliwością. Co ciekawe, Stephen Hawking i Roger Penrose udowodnili, że nie da się jej uniknąć. W przeciwieństwie do kodu krążownika "Yorktown", który można było poprawić, z równań Einsteina dzielenia przez zero nie da się usunąć. Nie wynika to ze sztucznych założeń, uproszczeń w rachunkach, wybranego układu współrzędnych. Osobliwość jest matematyczną cechą tych równań, i tyle.
W ten to sposób po raz kolejny zero spotkało się z nieskończonością, jak dwie strony tego samego medalu, chińskie yin i yang.
Fizycy pocieszają się, że to mówi więcej o słabości teorii niż o własności naszego świata. Po prostu teoria nie radzi sobie z opisem początku i trzeba liczyć na jej kwantową wersję, na którą wszyscy z utęsknieniem czekają. Nie udało się jej jeszcze sformułować, choć ma ona już swoją nazwę - kwantowa teoria grawitacji. Co nieco jednak już o niej wiadomo. Na przykład nie dopuszcza ona istnienia zupełnej pustki.
We współczesnej teorii kwantowej niemożliwy jest taki stan, że niczego nie ma. Słynny rosyjski kosmolog prof. Jakow Zeldowicz mawiał, że fizycy zachowują się tak jak pewien uliczny sprzedawca wody sodowej z syropem. Miał on syrop malinowy i porzeczkowy i kiedy klient prosił o wodę bez syropu, on pytał: "Ale bez malinowego czy bez porzeczkowego?". Podobnie dla fizyków nie istnieje próżnia bez niczego, zawsze jest doprawiona jakimiś "syropami", które fachowo nazywają się "kwantowymi polami".
I nawet jeśli będziemy się usilnie starać usunąć z przestrzeni wszystko, co tylko można, wszelką materię i promieniowanie, to nam się nie uda. Zawsze pozostanie pewna niedająca się usunąć porcja energii pól kwantowych, tzw. energia punktu zerowego (z tego samego powodu niemożliwe jest osiągnięcie zera absolutnego).
Ta najniższa możliwa energia manifestuje się poprzez tzw. cząstki wirtualne. Próżnia zawsze jest wypełniona morzem takich cząstek, które pojawiają się znikąd na niewyobrażalnie mały ułamek sekundy i znikają. W roku 1948 holenderski fizyk Hendrik Casimir wymyślił eksperyment, dzięki któremu można się namacalnie przekonać o ich istnieniu. Zaproponował, aby w próżni umieścić obok siebie dwie metalowe płytki. Jeśli nie są elektrycznie naładowane ani namagnesowane, to spodziewać się można, że przyciągają się jedynie siłą grawitacji. Ale morze wirtualnych cząstek zmienia ten prosty obraz. Ciśnienie cząstek, które wyłaniają się z niebytu pomiędzy płytkami, będzie mniejsze niż to na zewnątrz. Płytki będą więc spychane na siebie dodatkową siłą. To niezwykle nikłe parcie, ale w roku 1997 amerykański fizyk Steve Lamoreaux po raz pierwszy je wykrył i zmierzył. Wykazał czarno na białym, że fluktuacje próżni istnieją.
Na słynne pytanie niemieckiego matematyka i filozofa Gottfrieda Wilhelma Leibniza: "Dlaczego istnieje raczej coś niż nic?", współcześni fizycy odpowiedzą: bo nie może istnieć zupełne nic. Co więcej, gdy próbują obliczyć, jaką gęstość energii ma próżnia, najczęściej wychodzi im... to samo, co przy dzieleniu przez zero, czyli nieskończoność.
"W ostatnich latach trwa gorąca debata nad możliwością wykorzystywania kwantowej energii punktu zerowego jako źródła energii. Grupa fizyków pod przewodnictwem amerykańskiego fizyka Harolda Puthoffa ogłosiła, że możliwe jest przyłączenie się do tego nieskończonego oceanu fluktuacji punktu zerowego. Ale jak dotychczas nie udało im się przekonać pozostałych fizyków, że energia punktu zerowego jest dla nas w jakikolwiek sposób dostępna" - pisze angielski fizyk i matematyk John Barrow w "Książce o niczym". Niestety, podejrzenie przypomina to próby skonstruowania perpetuum mobile.
Jaka nauka z tego płynie? Nigdy nie lekceważmy zera, czyli niczego. A przede wszystkim - z myślą o krążowniku "Yorktown" i zbliżającej się maturze - weźmy sobie do serca stare szkolne porzekadło: "Pamiętaj cholero, nie dziel przez zero".
W ''Piątku Ekstra'' czytaj też: Gra o tron - piąty sezon. Reguły "Gry..." dla początkujących Otwierasz lodówkę, a tam piąty sezon "Gry o tron". Chcesz czy nie chcesz, i tak cię gdzieś ten serial w tych dniach dopadnie. W takim razie lepiej być na to przygotowanym. Oto kilka podstawowych danych, które pozwolą się zorientować w najsłynniejszej produkcji telewizyjnej ostatniej dekady
Gra o tron - piąty sezon. Świat poćwiartowany na odcinki Mimo że nadchodzi wreszcie prawdziwa wiosna, to od 13 kwietnia naszym zawołaniem znów będzie "Winter is coming", hasło przewodnie "Gry o tron". Serialu, który w kostiumie fantasy oferuje nam alternatywę dla naszego życia w realu
Sankowski i Świąder w stereo Prezentujemy płytowe nowości tygodnia: Toro Y Moi, Young Fathers i Test Prints
Kurkiewicz w księgarni Moda PRL-u w książce "To nie są moje wielbłądy", wstrząsający reportaż Zbigniewa Domarańczyka "Kampucza, godzina zero", a dla dzieci popularnonaukowa książeczka "Pupy, ogonki i kuperki" z rysunkami Mroux
Gil pączkojad Wreszcie spełniłem swoje marzenie. Zrobiłem zdjęcia gilom zajadającym się wiosennymi pączkami mojej czeremchy. Większości czytelników gile kojarzą się z zimą. Natomiast dla mnie są to ptaki zwiastujące początek wiosny
Dzisiejsza gazeta (e-wydanie)
Wszystkie komentarze