Datę w USA powszechnie zapisuje się, podając najpierw miesiąc, następnie dzień i wreszcie rok. Tak więc 14 marca 2014 to March 14, 2014 albo krócej 3.14, 2014. Widoczna tu liczba 3.14 (w USA, Wlk. Brytanii, Chinach, Indiach i wielu innych krajach, a także w świecie komputerowym, część całkowitą od ułamkowej oddziela kropka, w Rosji i Europie kontynentalnej stosujemy przecinek) jest przybliżeniem liczby ? (tę grecką literę czytamy: pi). Ta zbieżność sprawiła, iż 14 marca nazywany jest Dniem Liczby Pi. Pierwszy raz obchodzony był w roku 1988 w San Francisco, w tamtejszym Exploratorium, muzeum nauki, sztuki i postrzegania. Larry Shaw, pomysłodawca, chyba nie spodziewał się, że przyjmie się nie tylko w krajach anglojęzycznych (tu pomogła mu słodycz liczby ?: w angielszczyźnie literę tę wymawia się tak samo, mianowicie paj, jak słowo pie - ciastko). W 1999 roku Izba Reprezentantów niewiążąco ogłosiła 14 marca Narodowym Dniem Liczby Pi, w ten sposób propagując zarówno samą liczbę, jak i całą matematykę.
Słowo "matematyka" wywodzi się z greckiego matema, co znaczy poznanie. Matematyka jest nie tylko poznawaniem (a więc wnikaniem w sedno); dostarcza innym naukom (zwłaszcza fizyce i wszelkim naukom inżynierskim) narzędzi (w sensie logicznym, umysłowym), które czynią poznawanie (poszczególnych rzeczy i całego Wszechświata) realistycznym i pozwalają wyniki tego poznawania zapisać (w postaci zależności funkcyjnych, równań algebraicznych, równań różniczkowych itp.).
O matematyce można rzec, że jest nauką, która zajmuje się liczbami i figurami geometrycznymi (takimi jak odcinek, prostokąt i koło, kula i stożek) oraz ich uogólnieniami. Odnotowana tu kolejność bywa inna, bo w rozwoju cywilizacji, a także każdego człowieka z osobna, najpierw pojawiają się nie liczby, lecz twór matematycznie bardziej wysublimowany - mianowicie relacja równoliczności.
Istotnie, już małe dzieci potrafią wskazać, czy każde z nich ma tyle samo cukierków, czy jedno z nich ma ich więcej niż drugie; dopiero później posiadają tę wiedzę, którą niosą liczby (np. Janek ma trzy cukierki, a Marta ma ich pięć).
Relację równoliczności i dalsze kwestie z nią związane, w szczególności fakt, iż są różne nieskończoności, zbadał dogłębnie dopiero Georg Cantor w latach 1874-84. Odniósł się on m.in. do faktu, jaki w roku 1638 odnotował Galileusz, zadając tym samym śmiertelny cios przeświadczeniu, że część jest zawsze mniejsza od całości: liczb naturalnych jest tyle samo, ile ich kwadratów, tj. zbiory {1, 4, 9, 16, 25, ... } i {1, 2, 3, 4, 5, ... } są równoliczne.
Liczby naturalne są najbardziej elementarnymi wśród liczb. Cyfry 0, 1, 2,... , 9, za pomocą których zapisujemy liczby, pojawiły się w Europie dopiero w roku 1202 (w książeczce "Liber abaci", której autorem był Fibonacci), przedtem stosowano notację rzymską (znaki I, V, X, L, C, D i M).
Liczby naturalne służą do numerowania obiektów, do nadawania im kolejności. Typowym działaniem tego typu jest sporządzanie listy pracowników w kolejności, przykładowo alfabetycznej, albo identyfikacja telefonów i komputerów ich numerami.
Leopold Kronecker (1823-91), skądinąd wielki krytyk idei Cantora, mawiał, że liczby naturalne stworzył Bóg, a wszelkie inne obiekty, jakie rozważa matematyka (a więc m.in. ułamki i liczby ujemne), są dziełem człowieka.
Pitagorejczycy, a więc spadkobiercy doktryny rozwiniętej przez Pitagorasa (ok. 572-497 p.n.e.), do matematyki zaliczali także astronomię i muzykę (doszukawszy się harmonii sfer niebieskich i harmonii dźwięków). Uważali, że wszystko jest liczbą, że prawdziwą naturę każdego bytu stanowi liczba i można ją poznać, dokonując odpowiednich pomiarów, a świat fizyczny jest jedynie ułomną realizacją świata doskonałego. Ideę tę w pełni rozwinął Platon (ok. 425-347 p.n.e.). Podparł ją odkryciem, że istnieje jedynie pięć wielościanów foremnych - liczą one 4, 6, 8, 12 i 20 ścian.
Nawet nie zgadzając się z pitagorejskim usytuowaniem liczb w świecie, musimy przyznać, że grają one ważną rolę. Więcej - bez matematyki nie da się zrozumieć świata (co powtarzamy za Leonardem da Vincim), a sama matematyka jest w nim coraz bardziej obecna, co zaświadczają m.in. płyty CD, format MP3, systemy GPS, fotografia cyfrowa i telewizja cyfrowa - istotnym składnikiem tych tworów jest cyfryzacja, czyli zapis i jego przekazywanie za pomocą ciągu cyfr.
Litera ? nie tyle nawiązuje do imienia Pitagoras, co do greckiego słowa perimetros (dosłownie: obwód koła; w ang. perimeter, ale także: circumference, co pochodzi z łacińskiego circumferre - nosić dookoła). To oznaczenie na długość obwodu koła o promieniu 1, a zarazem na pole koła o tymże promieniu (pole to oznaczamy dalej literą A), wprowadził w roku 1706 William Jones. Weszło do powszechnego użytku, po tym jak zaczął je stosować od 1736 roku Leonhard Euler.
To, że A = (16/9)2 (czyli około 3,1605), około 37 wieków temu zapisał na papirusie skryba Ahmed (papirus ten przechowuje British Museum, nazywa się go także papirusem Rhinda - na targu w Luksorze zakupił go szkocki prawnik i egiptolog Alexander Henry Rhind).
W Chinach ok. roku 120 Chang Hing podał, że A = 142/45 (a więc w przybliżeniu 3,1556). W Indiach ok. roku 500 Aryabhata określił A = 62832/20000 = 3,1416. Nawet ostatnia z tych wielkości, choć bliska dokładnej wartości pola A, jest stwierdzeniem gorszym niż wynik, jaki podał Archimedes (ten sam, który odkrywszy prawo wyporu cieczy, dziś zwane jego imieniem, wybiegł z wanny, krzycząc: "Eureka!" - "Znalazłem!", a sformułowawszy zasadę dźwigni, oznajmił: "Dajcie mi punkt podparcia, a poruszę Ziemię"). Około 222 r. p.n.e. oszacował, że A jest liczbą większą niż 223/71 (3,1408...) i mniejszą niż 22/7 (3,1429...).
Okazuje się bowiem, że A, a więc ?, jest liczbą niewymierną, tzn. nie jest ona ilorazem liczb naturalnych. Fakt ten wykazał w roku 1761 Johann Heinrich Lambert, choć przypuszczał, że tak właśnie jest, już wspomniany Aryabhata. Wcześniej ciekawe (przynajmniej dla matematyków) przedstawienia liczby ? zaprezentowali John Wallis (w 1655 roku), Gottfried Wilhelm Leibniz (1674) i Leonard Euler (w roku 1735, w pełni kompletnie w roku 1741):
Leibniz umiejętnie skorzystał z wyniku, jaki trzy lata wcześniej uzyskał James Gregory. Niemal trzy wieki przed nim znał je Madhava - założyciel tzw. keralskiej szkoły astronomii i matematyki.
Z kolei suma, która widnieje w wyniku Eulera, nazywa się sumą bazylejską; w swej nazwie wspomina Bazyleę - rodzinne miasto Eulera oraz braci Bernoulli, którzy bezskutecznie próbowali wyliczyć jej wartość.
Te trzy wzory obcięte do początkowych n wyrazów dają przybliżenia liczby ?. Uwzględniając ich milion, otrzymuje się wartości odpowiednio: 3,141512370, 3,141582653 i 3,141583104.
Przede wszystkim za sprawą wzorów na długość okręgu i pole koła liczba ? jest jedną z najczęściej używanych stałych matematycznych, konkurować z nią może jedynie liczba e (znana jako liczba Eulera i będąca podstawą logarytmów naturalnych). Tak samo jak liczba ? liczba Eulera jest liczbą przestępną (tzn. nie jest pierwiastkiem jakiegokolwiek wielomianu o współczynnikach całkowitych), obie występują we wzorze
e? i +1=0
Jest on uznawany za najpiękniejszą formułę matematyczną - równość, dodawanie, mnożenie i potęgowanie wiąże ze sobą wszystkie liczby: 0, 1, ?, e oraz i (ta ostatnia wielkość nazywa się jednostką urojoną).
Johannes Kepler (1571-1630), któremu zawdzięczamy m.in. wykrycie, iż planety obiegają Słońca po orbitach eliptycznych, za najpiękniejsze wśród liczb uważał liczbę ? i złotą liczbę - oznaczamy ją literą ? (czytamy: fi; ? jest w przybliżeniu równe 1,61803). Obie można odnaleźć w wymiarach Wielkiej Piramidy Cheopsa: wzniesiono ją około 46 wieków temu tak, że z dobrym przybliżeniem pole ścian tej piramidy jest ? razy większe niż pole jej podstawy, a to z kolei jest ? razy większe niż wysokość piramidy.
Może warto wspomnieć, iż 3 marca urodzili się Albert Einstein (1879-1955) i Wacław Sierpiński (1882-1969). O pierwszym z nich słyszał chyba każdy i jest on uznany za patrona Dnia Liczby Pi (przez niektórych nazywanego Świętem Wszystkich Liczb, a nawet Świętem Matematyki). Drugi jest znany każdemu matematykowi (co najmniej za sprawą tzw. trójkąta Sierpińskiego); na jego grobie na warszawskich Powązkach wyryty jest napis: "Badacz nieskończoności".
O liczbach ? i ? oraz innych można, zdaje się, nieskończenie, a wśród pięknie napisanych książek popularnonaukowych o liczbach znajdują się "? razy drzwi. Szkice o liczeniu, myśleniu i istnieniu" (J.D. Barrow, Prószyński i S-ka 1996), "Imperium liczb" (D. Guedj, G+J 2003), "Królowa bez Nobla" (K. Ciesielski, Z. Pogoda, Demart 2013), "Księga liczb" (J.H. Conway, R. Guy, WNT 2004), "Księga liczb - od zera do nieskończoności" (T. Glynne-Jones, K.E. Liber 2007) i "Liczby natury" (I. Stewart, CiS 1996) oraz jeszcze niewydane po polsku "Wonders of numbers: Adventures in mathematics, mind, and meaning" (C.A. Pickover, Oxford University Press 2000)
Choć posługujemy się liczbami od tysiącleci, choć badało je niemałe grono matematyków, do dzisiaj skrywają wiele tajemnic. Na przykład do dziś niewiadomo, czy w ciągu cyfr, za pomocą których zapisane są przybliżenia dziesiętne liczb ?, e i ?, występuje ciąg 0123456789. Nie wiadomo, czy są liczbami przestępnymi ee , ?? oraz ?e (ale wiadomo, że jest przestępna liczba e? zwana stałą Gelfonda).
Zauroczeni magią liczby Pitagorasa czekają już na następny Dzień Pi, na chwilę, gdy zegary pokażą godzinę 9.26 i jeszcze 53 setne minuty; moment ten w notacji amerykańskiej to March 14, 2015, 9:26.53 można - przy dobrej woli (tj. pomijając 20) - odczytać jako 3,14152653, a jest to przybliżenie 10-cyfrowe liczby ?.
W Europie tak wysoką precyzję można będzie odnotować dopiero o 3.14 w 15. dniu września roku 2653 (3,141592653) - i jedyną rekompensatą za tak długie oczekiwanie jest fakt, że się tu nie pomija czegokolwiek!
Niczego, tym razem z przybliżenia archimedesowego, ? to 22/7 = 3,1428, nie pomija data 22 lipca. Dzień ten, w latach 1945-89 obchodzony jako Święto Odrodzenia Polski, miał aspiracje, by być europejskim odpowiednikiem amerykańskiego Pi Day, Dniem Przybliżenia Liczby Pi. Jest ona nazywana także ludolfiną. W 1596 roku Ludolph von Ceulen (1540-1610) podał jej 10-cyfrowe przybliżenie; do swej śmierci zdołał, badając wielokąt regularny o 262 bokach, wyznaczyć dalsze 25 cyfr (i całość, 3,14159265358979323846264338327950288, wyryto na jego nagrobku).
W roku 1980 Creighton Carvalho wyznaczył 20 013 cyfr, Hirouki Goto w 1995 - 42 195 cyfr. W roku 2009 prawie 3 biliony cyfr obliczył w ciągu 90 dni (na tylko nieco podrasowanym komputerze typu PC) Fabrice Bellard (stosując wzór, który odnalazł w 1997 roku). W roku 1989 bracia David i Gregory Chudnovsky opracowali wzór na obliczanie 1/?. Realizując go na maszynie typu serwer (dwa procesory centralne i 96 GB pamięci RAM), Shigeru Kondo i Alexander Yee podali w 2013 roku 12x1012 (12 bilionów) kolejnych cyfr liczby ?. Wyścig trwa.
Liczby giganty, przekraczają granice naszej wyobraźni. Jaka jest największa?
Z okazji Dnia Pi w dzisiejszym numerze "Piątku Ekstra" dużo piszemy o matematyce:
Jak równanie E=mc2 stało się celebrytą
Matematyczni analfabeci Każdy może zrozumieć matematykę!
Od zera do Gogola, czyli bestiarium matematyczne
Dzisiejsza gazeta (e-wydanie)
Wszystkie komentarze
How to Bake Pi: An Edible Exploration of the Mathematics of Mathematics by Eugenia Cheng