Matematyka czyni mistrza

Prof. Paweł Strzelecki*: Część z nich przeżywa rozczarowanie, choć z początku miała nadzieję, że dowie się czegoś fajnego.

M.K.: E, nie, dzieci nie mają takich oczekiwań.

P.S.: A ja tak właśnie myślałem i czasem rzeczywiście dowiadywałem się czegoś fajnego.

To czego właściwie dzieci uczą się na matematyce?

M.K.: Różnych sztuczek i sposobów na wykonanie pewnych czysto abstrakcyjnych działań. Można się dzięki temu dowiedzieć, co należy robić, żeby wyszło tak, a nie inaczej.

P.S.: Ale za to zwykle nie można się dowiedzieć, po co się to robi ani dlaczego się to robi tak, a nie inaczej - tzn. dlaczego skutki są takie, jak chcemy. A to tak, jakbyśmy studiowali książkę kucharską, ale brzydzili się samodzielnym gotowaniem. Albo ograniczyli studiowanie muzyki do zapisu nutowego, czyli poznawali środek do celu, tylko nie wiadomo do jakiego. Na lekcjach matematyki zawsze powinno się zadawać pytanie: "A dlaczego?".

M.K.: Bo co jest w matematyce istotne? Nie to, czy twierdzenie jest Pitagorasa, czy jakiegoś innego "gorasa", ani nie to, czy pojęcie nazywa się "tangens" czy "logarytm" - to tylko czysta erudycja. Chyba też nic nie płynie z technicznej wiedzy o tym, jak tymi pojęciami manipulować. tj. przenosić ze strony na stronę itd.

Ale przecież te manipulacje są fajne!

P.S.: Można się nimi bawić, to prawda.

M.K.: Tak jak układanką, puzzlami albo jakąś grą. Ale to zabawa zupełnie drugorzędna. Wiedzy, ani tej głębszej, ani praktycznej - jak zahamować ten samochód - z tego nie ma. To tak, jakbyśmy przykręcali śrubkę dla samej przyjemności kręcenia. Istotne jest co innego - myślenie matematyczne.

Co to takiego?

M.K.: Dam przykład. Mamy sześcian. Trzeba go pociąć na 27 jednakowych kostek.

P.S.: Czyli na sześciany o trzykrotne krótszej krawędzi.

M.K.: Od razu widać, że można to zrobić sześcioma cięciami. Cztery z nich prowadzimy z góry, pionowo, równolegle do ścian bocznych, a dwa - poziomo, równolegle do podstawy sześcianu.

Pytanie brzmi: czy cięć nie może być mniej? Na przykład: inaczej składamy wycięte już części i przecinamy je razem? Może w taki sposób można zmniejszyć liczbę cięć do czterech czy pięciu?

Nie mam pojęcia. Trzeba ułożyć jakiś wzór?

M.K.: Nie, wystarczy pomyśleć. Wrzućmy kostkę do farby i zobaczmy, jak wyglądałoby 27 mniejszych, wyciętych z niej kosteczek. Ta ze środka nie miałaby farby na żadnej ze ścian. A to oznacza, że dużą kostkę trzeba przeciąć co najmniej tyle razy, ile ta mała ma ścian. Czyli sześć.

P.S.: Bo każde cięcie może odsłonić najwyżej jedną ściankę tej małej, środkowej kostki.

M.K.: Inny przykład. Jakiś czas temu byłem w telewizji i opowiadałem o myśleniu matematycznym pani Agnieszce Szulim i panu Tomaszowi Kammelowi. Zadałem im zagadkę. Z Warszawy do Dęblina i z powrotem leci samolot. Nie ma wiatru, a podróż w obie strony zajmuje mu "x" czasu. Pytanie brzmi - czy jeśli będzie wiał silny wiatr południowy, a więc od Warszawy do Dęblina samolot będzie leciał pod wiatr, a z powrotem z wiatrem, to cała podróż będzie wolniejsza, szybsza czy taka sama jak w warunkach bezwietrznych?

Taka sama.

M.K.: I to jest odpowiedź nieprawidłowa. A pani Szulim od razu wiedziała. Mówi tak: "Pod wiatr samolot będzie leciał wolniej, a więc dłużej, a z wiatrem poleci szybciej, czyli krócej. Czyli przez większy odcinek czasu poleci wolniej. Dlatego średnio rzecz biorąc, będzie leciał wolniej niż w warunkach bezwietrznych".

To trochę tak jak z biegaczami. Ci, którzy biegną wolniej, a więc dłużej, męczą się bardziej niż ci, którzy biegną szybciej, czyli krócej.

P.S.: Można tak to ująć (śmiech). Ludzie często myślą matematycznie, chociaż nie zdają sobie z tego sprawy. Jeśli robotnik, któremu szef każe przerzucić hałdę węgla w jeden dzień, po czterech godzinach szalonej pracy nie przerzucił nawet jednej szóstej, to od razu będzie wiedział, że szef robi z niego idiotę i nie chce przyzwoicie zapłacić, bo dał mu zadanie niewykonalne.

M.K.: Mamy tu kolegę, którego ojciec był stolarzem. I ten kolega jeszcze jako dziecko przybiega ze szkoły i chwali się: "Tato, dostałem piątkę z geometrii". Na to ojciec każe mu wziąć jakąś długą deskę i wynieść ją ze stolarni na podwórko. On się męczy, poci, obija o ściany, przepycha przez drzwi i wąski korytarz, ale w końcu wynosi. I wtedy ojciec każe mu przynieść ją z powrotem. Sam bierze ją na ramię, a potem szybko i elegancko wynosi na zewnątrz.

Jak to zrobił? On znał geometrię naprawdę. Nie te znaczki i wzory, których Polacy uczą się w szkole i z którymi tak się kłócą. Nawet w literaturze. Na przykład "Szatan z siódmej klasy" Kornela Makuszyńskiego, cytuję z pamięci: "Minęła godzina cyframi najeżona".

Przecież te wszystkie obliczenia i wzory, którymi i dziś katuje się dzieci w szkole, każąc im pisać równania na kratkowanym papierze, można wykonać dużo sprawniej za pomocą komputera!

P.S.: Tym bardziej że to zwykłe ćwiczenie pamięci. Oczywiście trzeba ją ćwiczyć, ale dużo przyjemniej byłoby uczyć się na pamięć wierszy niż wzorów. I w dodatku nie dbamy o to, czy uczeń rozumie na poziomie głębszym od zapamiętania mechanicznej reguły, dlaczego zadanie rozwiązuje się tak, a nie inaczej.

Czyli niepotrzebnie się denerwuję, kiedy mój syn mnoży i dzieli za pomocą kalkulatora zamiast w głowie?

P.S.: Powinien pan raczej złościć się na autorów podręczników, którzy nie pomyśleli, że w epoce kalkulatorów dane w zadaniach warto dobierać inaczej. Nie każmy dzieciom na kalkulatorze mnożyć dwóch przez trzy ani siedmiu przez osiem (tego jednak niech się nauczą na pamięć), ale na przykład 5,33 przez 8,45. Ale za to, skoro mają obliczyć np. pole prostokąta o takich bokach, wyjaśnijmy im wcześniej, dlaczego pole prostokąta jest iloczynem boków, a nie ich sumą. A gdy to już będą rozumieć, niech sobie czasem używają kalkulatorów.

M.K.: Przecież zrezygnowaliśmy już z krzesania ognia za pomocą patyczków. Nikt dziś tego nie uczy, a kiedyś była to umiejętność fundamentalna. Ogień rozpalamy zapałkami, a w szkole uczymy dzieci rzeczy bardziej skomplikowanych.

Tak samo zamiast rachunków powinniśmy je uczyć matematycznego myślenia.

I tak wolałbym policzyć w głowie.

M.K.: To już jest sport. Taka rachunkowa wspinaczka.

P.S.: Dlaczego chodzimy w góry? Bo są, jak powiedział George Mallory.

M.K.: Tak nie popchniemy matematyki do przodu, ale czasem można się dla przyjemności pogimnastykować.

Czy macie panowie czasem takie myśli jak ja kiedyś na lekcjach matematyki: "Nic z tego nie rozumiem!"?

P.S.: Oczywiście, cały czas. Każdy matematyk je ma.

M.K.: Na tym przecież polega nasza praca. Przyjemność jest wtedy, kiedy nagle coś zaskoczy i pojawi się zrozumienie.

P.S.: Matematyka składa się także z radosnych momentów olśnienia. Kurczę, to jest tak, właśnie tak, nie inaczej, i z tego, a nie z innego powodu jest tak!

M.K.: Mamy tu kolegę, który pracuje też w szkole - to przyjemnie uczyć dzieci - i opowiadał, jak pewien młody człowiek rozwiązywał zadanie, męczył się z nim, a w pewnym momencie zrozumiał i radośnie krzyknął: "O, k...!". I ten nasz kolega uważa to wydarzenie za swój największy sukces dydaktyczny.

Matematyka to jest po prostu sposób myślenia. Cała jej otoczka, te wszystkie pojęcia zostały stworzone tylko po to, żeby jakoś to myślenie wyartykułować. To jej narzędzia, jej język.

P.S.: Choć czasem jest kłopot, jak o tym wszystkim opowiedzieć, wyjaśnić kolegom po fachu. Na początku jest tak, że rozwiązanie problemu rozumie tylko ten, kto je znalazł.

A jakie zagadki ostatnio rozwiązywaliście?

P.S.: W ciemnym pomieszczeniu za ścianą znajduje się powyginana powierzchnia, zupełnie nieokreślonych kształtów. Może gdzieś sama siebie przecina, a może nie, może ma jakieś zagięcia, fałdki, dziobki, a może jest idealnie gładka. Nie mogę jej obejrzeć, ale mam w tym pomieszczeniu agenta, który zdradza mi pewne zaszyfrowane statystyczne informacje o tej powierzchni. Bez przerwy losuje przypadkowe pary punktów powierzchni, prowadzi przez nie płaszczyzny styczne i mówi mi, że one przecinają się pod takim a takim kątem.

I razem z jednym kolegą na podstawie statystycznej obróbki bardzo wielu informacji o takich kątach potrafimy stwierdzić, czy powierzchnia przecina sama siebie, czy nie. I czy ma dziobki i zagięcia, czy nie.

Poszukiwanie tej odpowiedzi, a potem jej zapisanie w sposób zrozumiały nie tylko dla nas, zajęło nam ostatnie dwa lata.

Skąd w ogóle taki problem?

P.S.: Jeśli chce pan konkretnej motywacji z pogranicza fizyki i biologii, to proszę: chodzi o wszelakie badania możliwych kształtów cienkich błon, których wewnętrzna energia zależy od ich stopnia zakrzywienia. Dla mnie jednak ważniejsze jest to, że w matematyce obowiązuje olbrzymia wolność tworzenia. Nasza dziedzina nauki jest bardzo obszerna; przychodząc do niej, trafiamy na cały gmach pojęć, narzędzi i gotowych twierdzeń. Jest to jednak gmach w ciągłej budowie, do którego każdy może dostawić swoje cegiełki, a nawet przybudówki. I wiele pytań, które matematycy sobie zadają, bierze się właśnie stąd, że oglądają ten gmach i wydaje im się, że mogą coś w nim uzupełnić.

M.K.: Normalny człowiek, kiedy ma węzeł, to go przecina, i cześć. A matematyk zacznie się zastanawiać, jak sobie poradzić bez nożyczek. Albo jak udowodnić, że bez nożyczek naprawdę się nie da.

P.S.: Stanisław Lem celnie powiedział, że matematycy to szaleni krawcy. Szyją te swoje dziwaczne, powyginane ubrania, które są jednak idealnie zaprojektowane i świetnie skrojone. I do tego składu z ubraniami czasem zaglądają inni naukowcy, na przykład fizycy.

M.K.: I okazuje się, że oni znają takich, na których te ubrania pasują.

P.S.: Na szczęście matematykowi do znalezienia odpowiedzi na pytania, które sobie stawia, nie potrzeba wielkiego instrumentarium. Trochę czasu, szczęścia, ołówek, kartka papieru i... kosz na śmieci.

Kosz?

P.S.: Tam jest wszystko to, co się nie udało i czego się nie rozumie.

M.K.: Ale być może niedługo ktoś wyjmie z tego kosza jakiś problem i sobie z nim poradzi. Bo to, co 50-100 lat temu było dla nas piekielnie trudne, dziś jest dziecinnie łatwe.

No dobrze, ale czy to wasze matematyczne myślenie można naprawdę wykorzystać do czegoś praktycznego? Bo wynoszenie deski ze stolarni to jednak dla większości ludzi wydumany problem...

P.S.: Zwykły człowiek dzięki szkolnej matematyce może zdobyć przede wszystkim gotowość uczenia się nowych rzeczy, a także dyscyplinę myślenia i zdolność do wysłuchiwania argumentów. Jeśli miał dobrego nauczyciela, to później w dorosłym życiu zadaje sobie często pytanie: "Dlaczego właśnie tak, a nie inaczej?". Jest gotów do zmiany stanowiska i uważa to za rzecz naturalną, a nie za porażkę. Odróżnia hucpę i przystrojoną w piękne piórka demagogię od prawdziwych argumentów. A od autorytetu oczekuje wiedzy i profesjonalizmu, a nie stania na piedestale lub sprawowania kierowniczej roli.

M.K.: Jeśli pan uważa, że praktyczne są np. prognoza pogody i możliwość dokonywania bezpiecznych transakcji kartą kredytową przez internet, to proszę pamiętać, że pierwszego nie byłoby bez równań różniczkowych, a drugiego - bez przetworzonej w końcówce ubiegłego wieku XVIII-wiecznej teorii liczb (dodajmy: wcześniej uznawanej za modelowo wręcz bezużyteczną). Bez matematyki nie byłoby żadnych zastosowań fal radiowych: ani radia, ani telewizji, ani sieci wi-fi w kafejkach i naszych mieszkaniach, bo nie byłoby równań Maxwella ani fizyki stojącej za tymi wynalazkami. Podobno Richard Feynman powiedział kiedyś do Marka Kaca (który urodził się w 1914 r. w Krzemieńcu i zrobił doktorat u Steinhausa we Lwowie): "Czy to prawda, Marku, że gdyby nie matematyka, to rozwój fizyki opóźniłby się o cały tydzień?". A Kac odpalił: "Tak, i byłby to ten tydzień, w którym Bóg stworzył świat". Wiem, że jestem tu subiektywny, ale bez cienia emocji bliżej mi do Kaca.

P.S.: Nadmierny nacisk na praktyczność rodzi we mnie - w nas - bunt i sprzeciw. Czy literatura jest praktyczna? Albo muzyka? To dość idiotyczne pytania; przecież to nie praktyczność jest usprawiedliwieniem istnienia ich obu i powodem ich obecności w szkole. Podobnie jest z matematyką. Jej zastosowania oczywiście są przydatne, ale matematyka po prostu jest częścią naszej kultury.

A czy te ubrania, które sobie szyjecie, istnieją tylko w waszych głowach, czy rzeczywiście są?

P.S.: Ponoć 80 proc. matematyków uważa, że to, o czym myślą, rzeczywiście istnieje w jakimś idealnym, platońskim świecie (śmiech).

M.K.: Mniej więcej 100 lat temu okazało się, że wiele rzeczy w matematyce - na przykład zestaw aksjomatów w geometrii albo w teorii mnogości - można sobie wybrać wedle uznania. Spowodowało to wśród matematyków duży niepokój. Więc jak to, badamy jakieś fantasmagorie, a nie prawdziwy świat?

I dlatego, jakby na przekór, matematycy zaczęli uważać się za przyrodników. Tyle że przyrodników innej przyrody - rzeczywistości matematycznej.

P.S.: Którą sobie badamy i odkrywamy. I na przykład przeżywamy przygody w geometrii pięciowymiarowej.

A czy te przygody kiedykolwiek się kończą?

P.S.: Gdy wiele tygodni pracuję nad jakimś dowodem, bardzo trudno mi odpocząć. Nauczyłem się jednak, że pod koniec dnia najlepiej powiedzieć sobie "dość" i zrobić przerwę w myśleniu, spróbować zapomnieć o problemie, z którym się zmagam.

I co pan robi, żeby nie myśleć?

M.K.: Nic nie robi, myśli dalej. Matematyka jest jak obsesja.

* Marek Kordos i Paweł Strzelecki są profesorami w Instytucie Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego