Doskonałość tych liczb - w sensie matematycznym - polega na tym, że są równe sumie swoich dzielników (mniejszych od nich samych):

6=1+2+3
28=1+2+4+7+14

Czy jest więcej takich liczb? Tak. Ale ile ich jest? Jaka jest największa? Nikt nie wie.

Żyjący na przełomie I i II w. Mikomachos, autor "Arytmetyki", uważał, że obiekty doskonałe i piękne zawsze są rzadkie, toteż nie należy się spodziewać, że liczb doskonałych będzie dużo. Miał rację, Euklides podał tylko dwie kolejne liczby tego typu: 496 i 8128. W starożytności nie znano ich więcej.
Kolejną, piątą liczbę doskonałą, znaleziono dopiero w XV w. To 33550336.

Liczby francuskiego mnicha

Mniej więcej sto lat później znaleziono szóstą i siódmą liczbę doskonałą. A genialny szwajcarski matematyk Leonhard Euler w XVIII w. udowodnił, że każda parzysta liczba doskonała musi mieć postać q(q+1)/2, gdzie q spełnia pewne warunki. Po pierwsze jest liczbą pierwszą, czyli podzielną bez reszty tylko przez 1 i samą siebie, a po drugie - q musi być też pewną potęgą dwójki pomniejszoną o 1 (czyli musi dać się zapisać w postaci: 2^p minus 1).

Euler przy okazji znalazł też ósmą liczbę doskonałą, która wynosiła już, bagatela, 2305843008139952128.

Peter Barloy w wydanej w 1811 r. "Teorii liczb" opatrzył ją komentarzem: "Liczba ta na zawsze pozostanie największą z kiedykolwiek odkrytych liczb doskonałych, ponieważ zważywszy na ich całkowitą bezużyteczność, trudno podejrzewać, aby kiedykolwiek ktoś zechciał tracić starania na otrzymanie większych liczb doskonałych".

Nie docenił matematyków, którzy z wielką chęcią tracą czas na wszelkie "bezużyteczne" poszukiwania. Zgodnie zresztą z maksymą brytyjskiego matematyka G.H. Hardy'ego, który  uważał, że jedyne kryterium, jakie można przykładać do wyników matematycznych, to kryterium piękna i elegancji.

Użytecznością się brzydził, wznosił toast za matematykę, "która nigdy nie znajdzie żadnych zastosowań!".

Poszukiwania ruszyły z kopyta, kiedy w 1952 r. po raz pierwszy użyto maszyny liczącej. Od razu znaleziono aż pięć nowych liczb doskonałych.

Od czasu Eulera, który znalazł wzór q(q+1)/2, znajdywanie liczb doskonałych jest równoważne poszukiwaniu liczb q. Czyli liczb pierwszych, które są pewną potęgą dwójki pomniejszoną o jeden. A takie liczby nazywają się liczbami pierwszymi Mersenne'a (od francuskiego mnicha i matematyka z przełomu XVI i XVII w., który je badał).

Każda liczba pierwsza Mersenne'a jest stowarzyszona z liczbą doskonałą poprzez wzór Eulera.

Wielkie łowy na liczby pierwsze Mersenne'a rozpoczęły się ponad dwie dekady temu wraz z uruchomieniem projektu GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search, czyli Wielkie Internetowe Poszukiwanie Liczb Pierwszych Mersenne'a). Każdy może brać w nim udział. Trzeba tylko na swoim komputerze zainstalować odpowiednie oprogramowanie, które testuje kolejne liczby i korzysta przy tym z nieużywanych mocy komputera, a więc nie przeszkadza nam w pracy. 

Uczestnicy projektu GIMPS znaleźli już kilkanaście liczb Mersenne'a.

Dzięki temu znamy już łącznie 51 liczb doskonałych.

Ostatnia, rekordowa liczba pierwsza Mersenne'a została znaleziona w grudniu ub. roku. Żeby ją otrzymać, trzeba podnieść 2 do potęgi 82 mln 589 tys. 933, a od wyniku odjąć 1. Ta liczba w zapisie dziesiętnym ma aż 24 mln 862 tys. 48 cyfr. 

Warto ściągnąć program ze strony www.mersenne.org i przyłączyć się do poszukiwań. Za znalezienie liczby pierwszej Mersenne'a mającej ponad 100 mln cyfr dziesiętnych (oraz odpowiadającej jej liczby doskonałej) czeka nagroda w wysokości 150 tys. dol.!

Czy poszukiwania kiedyś się skończą?

Nie jest jednak pewne, czy istnieją większe liczby Mersenne'a. Nie udało się tego nikomu udowodnić. Do dzisiaj nie wiadomo, ile jest liczb Mersenne'a i liczb doskonałych. Może nieskończenie wiele, a może ich lista już się wyczerpała albo za chwilę wyczerpie.

Co więcej, wszystkie znane liczby doskonałe są parzyste. A co z nieparzystymi? Mimo usilnych poszukiwań do dziś żadnej nie znaleziono.

Nikomu też nie udało się udowodnić, że nieparzystych liczb doskonałych nie ma. Wiadomo tylko, że stanowią wyjątkowo rzadkie i duże okazy. Udowodniono bowiem, że doskonałe liczby nieparzyste - jeśli w ogóle istnieją - muszą być większe niż 10 do potęgi 1500.

PRZECZYTAJ TEŻ: Od zera do googola. Bestiarium matematyczne