Na Facebooku ludzie przesyłają sobie mem ze zdjęciem staruszka i podpisem: "Minęło tyle lat, a ja wciąż czekam, kiedy mi się przyda sinus i cosinus". Zabawne jest jednak to, że gdyby nie sinus i cosinus, to ten, kto stworzył mem, nie mógłby dołączyć do niego zdjęcia, a także opublikować go na Facebooku, którego zapewne też by nie było.

Bo bez sinusów i cosinusów nie byłoby tzw. szeregów Fouriera wykorzystywanych dzisiaj w telekomunikacji, cyfrowym przetwarzaniu sygnałów (w tym obrazów), a nawet do przechowywania danych.

Francuski matematyk Jean Baptiste Joseph Fourier na początku XIX wieku pokazał, że funkcję okresową (spełniającą określone warunki, m.in. ograniczoną) można przedstawić w postaci sumy (tj. szeregu) sinusów i cosinusów z odpowiednimi współczynnikami. Podał przepis, jak to zrobić, tj. jak obliczać współczynniki w tym szeregu.  

Sposób przekształcania funkcji na taki szereg zwany jest transformacją Fouriera, a sam szereg - transformatą Fouriera. Czasami taka suma jest nieskończona, czasami szereg ma tylko kilka wyrazów.

Matematyczna sokowirówka

Badanie tego przekształcenia zwane jest analizą harmoniczną i stanowi ogromny dział matematyki. A jednym z pionierów tej dziedziny jest Antoni Zygmund, polski matematyk, który od 1940 r. pracował w USA i był nauczycielem i mentorem wielu sław analizy harmonicznej, m.in. Józefa Marcinkiewicza, Alberta Calderóna, Leonarda Berkovitza, Eliasa Steina czy Paula Cohena.

Był też jednym z twórców chicagowskiej szkoły analizy, która wykorzystywała analizę fourierowską do rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych. A takie równania mają wielkie znaczenie praktyczne - pojawiają się w niezliczonych zagadnieniach z zakresu fizyki, chemii, biologii czy inżynierii. 

Na analizę harmoniczną można patrzeć jak na rozkładanie funkcji na czynniki pierwsze, dzięki czemu można łatwiej badać ich własności i wykorzystywać je do różnych celów.

Można to porównać do maszynki, do której wlewamy sok, a ona go analizuje i na wyświetlaczu podaje informację o jego składzie (np. 80 proc. skoku jabłkowego 10 proc. soku z aronii, 10 proc. soku porzeczkowego). Transformacją Fouriera w tym przypadku jest działanie maszynki, a transformatą - skład soku. Transformata jest wygodna, bo jeśli np. chcemy komuś podarować sok, to wystarczy mu przesłać skład (transformatę), a on na tej podstawie łatwo może sobie odtworzyć gotowy napój (jak powie matematyk: musi zastosować odwrotną transformację Fouriera).

Jedną funkcji okresowych, które można poddać transformacji fourierowskiej, a z którą mamy do czynienia na co dzień, jest dźwięk. Transformacja oznacza w tym wypadku rozłożenie dźwięku na sumę fal o określonych częstotliwościach. Gdy znamy wszystkie składowe dźwięku, możemy go odtworzyć (dzięki temu możemy słuchać płyt CD), a także poddać bardzo skutecznej kompresji poprzez odrzucenie zbędnych składowych (technika ta stosowana jest w plikach MP3).

Co więcej analiza fourierowskich składowych dźwięku pozwala wykryć, czy jest on pochodzenia naturalnego, czy maszynowego, a w szczególności, czy generowany jest np. przez obroty śruby okrętowej. Sonary wojskowe nie tylko oddzielają dźwięki naturalne od sztucznych, ale także dzięki analizie harmonicznej są w stanie stworzyć katalog dźwięków charakterystycznych dla rodzaju jednostki wojskowej (np. łódź klasy Akuła), a nawet dla konkretnej jednostki (np. TK-12 Simbirsk), bo dźwięk wydawany przez śrubę jest jak odcisk palca. 

Innym zastosowaniem analizy harmonicznej jest przetwarzanie obrazów. Każde zdjęcie kotka, które robimy telefonem komórkowym, zapisywane jest na karcie pamięci w formacie JPG. To format pozwalający usunąć z cyfrowego obrazu te dane, które dla oka ludzkiego są nieistotne, zawierający tylko najważniejszą część informacji. W konsekwencji zdjęcie zajmuje nawet 20 razy mniej miejsca niż pierwotny obraz, choć nie jesteśmy w stanie dostrzec różnic. Algorytm JPG wykorzystuje do kompresji właśnie szeregi trygonometryczne - te same, które są z powodzeniem stosowane do kompresji innych sygnałów cyfrowych, np. dźwięku.

Nie trzeba więc czekać na to, kiedy przydadzą się sinusy i cosinusy - one od dawna są potrzebne każdemu z nas.

Internetowy mem
Internetowy mem  FB

Zaczęło się w Wilnie

Antoni Zygmund urodził się w 25 grudnia 1900 r. w Warszawie, która była wówczas częścią zaboru rosyjskiego. W pierwszym roku po odzyskaniu niepodległości rozpoczął studia matematyki na Uniwersytecie Warszawskim. Uczył się od najznamienitszych matematyków warszawskiej szkoły matematycznej: Janiszewskiego, Mazurkiewicza, Sierpińskiego, Dicksteina.

Tam też poznał ledwie trzy lata starszego Aleksandra Rajchmana, który wprowadził go w świat szeregów trygonometrycznych. W 1923 r. obronił doktorat pod jego kierunkiem (choć oficjalnie promotorem był Mazurkiewicz, bo Rajchman był zbyt młody na prowadzenie doktorantów). Po doktoracie kilka lat pracował na Politechnice Warszawskiej, a w 1930 r. opuścił Warszawę i objął katedrę matematyki na Uniwersytecie Stefana Batorego w Wilnie.

Tam poznał młodego matematyka Józefa Marcinkiewicza, z którym aż do wojny tworzył bardzo twórczy i płodny tandem.

Historycy matematyki nie mają wątpliwości, że Marcinkiewicz był geniuszem. Już na drugim roku studiów rozpoczął badania szeregów trygonometrycznych, a także interpolacji wielomianowej. Do roku 1939 opublikował 50 prac, mniej więcej jedną co dwa miesiące. Do kanonów analizy matematycznej weszło twierdzenie interpolacyjne Marcinkiewicza, a także pojęcie przestrzeni Marcinkiewicza.

Zygmund opowiadał, że Marcinkiewicz prześcignął go w niektórych działach jego własnej specjalności i z ucznia szybko stał się nauczycielem. Niestety, wojna ich na zawsze rozdzieliła. Marcinkiewicz został uwięziony w Starobielsku jako jeden z wielu polskich oficerów i rozstrzelany przez NKWD. Zygmundowi udało się uciec z rodziną do USA.

Gdyby nie wojna, Marcinkiewicz mógł zostać jednym z najwybitniejszych współczesnych matematyków, a jego wczesna śmierć była prawdopodobnie najcięższą indywidualną stratą w czasie II wojny światowej - twierdził wiele lat później Antoni Zygmund.

Po emigracji do Stanów Zjednoczonych najpierw podjął pracę na MIT w Cambridge, a później na Mount Holyoke College. Małe i ciche miasteczko pozwoliło odpocząć całej rodzinie od wojennego stresu.

Polsko-argentyński tandem w Chicago

W 1947 r. Zygmund przeniósł się na Uniwersytet Chicago, gdzie pracował aż do 1980 r. Znowu w tandemie - z młodym matematykiem Albertem Calderónem, którego poznał w 1948 r. w Argentynie. Ściągnął go do Chicago, czuwał nad jego doktoratem, a później przez wiele lat razem z nim badał równania różniczkowe cząstkowe.

Rozwiązanie tych równań często jest bardzo trudne, ale zastosowanie analizy harmonicznej pozwala uprościć proces i uzyskać wyniki przybliżone, które są wystarczająco dobre, choćby na potrzeby symulacji komputerowych.

Dzięki temu inżynierowie mogli prowadzić skomplikowane symulacje przepływu powietrza wokół skrzydła samolotu czy rozkładu ciepła na łopatkach turbin silników odrzutowych. Analiza harmoniczna pozwalała często na dwudziestokrotne przyspieszenie obliczeń, co jest o tyle ważne, że często lepiej mieć wyniki po kilku dniach, a nie po miesiącu.

Zygmund z Calderónem założyli i prowadzili na Uniwersytecie Chicago słynny ośrodek zajmujący się badaniami nad analizą harmoniczną (Chicago School of Hard Analysis).

W 1959 r. Zygmund został członkiem PAN, w 1961 r. - członkiem amerykańskiej National Academy of Sciences, a w 1972 r. do swojego grona przyjęło go Polskie Towarzystwo Matematyczne. W 1986 r. prezydent Reagan uhonorował go medalem National Medal of Science za „ogromny wkład w analizę fourierowską i jej zastosowania do równań różniczkowych cząstkowych i innych dziedzin analizy, a także za stworzenie i prowadzenie najmocniejszej szkoły badań analitycznych we współczesnym świecie matematycznym”. Zmarł 30 maja 1992 r. w Chicago.

Bez jego badań współczesny świat na pewno wyglądałby inaczej. Współczesna analiza harmoniczna odkrywa coraz to nowe zastosowania dla transformacji i transformat Fouriera i naprawdę trudno zliczyć jej zastosowania. To chyba najbliższy życiu dział matematyki, który rozwiązuje metodami matematycznymi wszelkie problemy, z jakimi borykają się inżynierowie. Matematyk, który planuje karierę w analizie harmonicznej, z pewnością będzie miał pełne ręce (ciekawej) roboty.

Korzystałem z: Józef Marcinkiewicz, CollectedPapers, w redakcji A. Zygmunda, PWN Warszawa 1964, 1–33

Uwaga, konkurs! Wielcy polscy matematycy znani i nieznani. Pula nagród - 130 tys. zł

Roman Imielski poleca
Komentarze
Zaloguj się
Chcesz dołączyć do dyskusji? Zostań naszym prenumeratorem
Panie redaktorze, ależ Pan nakręcił... bo to jest wszystko nie tak...

Jeśli zapyta Pan kilku różnych osób (ucznia, naukowca, mnie, twórcę formatu JPG) o to "kiedy przyda się sinus i cosinus", to uzyska Pan różne odpowiedzi.

1. Dlaczego uczeń uczy się o kosinusach w szkole podst. i średniej? Żeby umieć liczyć kąty, a także, żeby oswoić się z tymi funkcjami przed studiami - patrz niżej.
A tak naprawdę, żeby zaliczyć - więc odpowiedź na mema jest taka: przydał się kosinus, bo dzięki niemu zdałem szkołę i dostałem dobrą pracę.

2. Dlaczego student (fizyki, nauk przyrodniczych, informatyki) uczy się o kosinusach na studiach? Bo są one podstawowym rozwiązaniem układów równań różniczkowych i wszystkie fale rozchodzą się w postaci kosinusów. Na marginesie: dlaczego sinus i kosinus są rozwiązaniami tych układów równań różniczkowych? Bo to jedyne funkcje, których pochodne są takie same, jak te funkcje pierwotne, co najwyżej ze znakiem minus. Kolejną taką funkcją jest też e do x i ona też jest rozwiązaniem tych układów równań różniczkowych.
A tak naprawdę, żeby zaliczyć, jw.

3. Dlaczego do formatu jpg wykorzystuje się transformatę fournierowską kosinusową? Nie dlatego, że da się zrobić analizę harmoniczną obrazu czy że pozwala usunąć nieistotne dane (bo to każda transformata stosowana w kompresji pozwala, również waveletkowa), tylko dlatego, że można to zrobić łatwo. Transformata kosinusowa mocno koncentruje sygnał w pierwszych współczynnikach wyniku tej transformaty, dzięki czemu tylko te można zapisać, a resztę odrzucić (w uproszczeniu). Wynika to zresztą z właściwości samego obrazu czy dźwięku - świat, obraz, dźwięk jest pełen niskich częstotliwości ("kosinusowych"), a nie wysokich.

Na zakończenie tego już zbyt trudnego wywodu powiem, że każdy sygnał (obraz, dźwięk) da się przedstawić w postaci szeregu funkcji, które są względem siebie ortogonalne (to podstawowy warunek, który spełnia też szereg kosinusów) - jak kto ciekawy, to se wyszuka, ale nie radzę.
@misiekpysiek2
Sinusy i cosinusy też przydają sie w procesach sterowania wielu zmiennych...
już oceniałe(a)ś
3
0
@misiekpysiek2
Brawo, brawo, brawo! Matematyka ciągle królową nauk.
już oceniałe(a)ś
2
0
@misiekpysiek2
fale rozchodzą się w postaci kosinusów , bravo ty
już oceniałe(a)ś
4
0
@misiekpysiek2
Trafne uwagi. Szczególnie pokazanie do czego są potrzebne większosci uczniów moze byc potraktowane jako glos w toczącej się ostatnio dyskusji, czy matura z matematyki ma rzeczywiscie pozostac obowiązkowa.
Sam jestem laureatem sprzed 60 lat olimpiad fizycznej i matematycznej i emerytowanym profesorem fizyki teoretycznej, ale przychylam się do tego program był bardzo elementarny, matura nieobowiazkowa, a tu i ówdzie byly klasy dla uzdolnionych i chętnych jej zgłębiania.
Tam, gdzie ze względów logistycznych istnienie takiej klasy w bliskiej okolicy byloby niemozliwe, sprawę przygotowania kandydatów na studia politechniczne i podobne, moglyby rozwiazywać kólka matematyczne prowadzone dla wybranych uczniów. Oni by oczywiscie wybierali maturę z matematyki.
A tak przy okazji. Choc bylo to dawno, zapadlo mi w pamięć.
Za moich czasów studenci odbywali szkolenie w ramach Studium Wojskowego na uczelni. Potem był 6-cio tygodniowy obóz w wakacje i w rok czy dwa po studiach 2, a niekiedy 3 mieaięczne szkolenie w Szkole Oficerskiej.
Na uniwersytecie spexjalnoscia wojskowa była piechota, ale absolwentów fizyki wysylano do szkoly artylerii. W moim plutonie byl jeszcze jeden absolwent uniwersytetu, a reszta to byli inzynierowie - jakos tak większośc po AGH.
I nie uwierzycie, ale po jednych z zajęč podszedl do mnie sympatyczny, wyraźnie starszy kolega i z zawstydzeniem poprosił by mu przypomniec, co to jest ten ....SINUS!!!
już oceniałe(a)ś
6
0
@mamjuznick
"...w warunkach bojowych sinus kąta może przyjmować wartości większe niż 1..."
już oceniałe(a)ś
1
0
@pokrecony_oliver@
nie no... chyba w dowolnych w warunkach zespolonych. tj. użycia amunicji zespolonej, rzecz jasna!
już oceniałe(a)ś
0
0
Dla suwerena to niewystarczjące tłumaczenie.
@kimi52
ode mnie minus za "suwerenowanie" (tj. bezsensowną polaryzację nastrojów).
już oceniałe(a)ś
7
9
@thenameless
popieram
już oceniałe(a)ś
3
2
@thenameless
ode mnie minus za "suwerenowanie"
już oceniałe(a)ś
0
0
Mam kalkulator HP z RPN.
Reverse Polish Notation.
To jest to!
@Niemiec_z_Niemiec
Tez mialem, ale juz umarl.
już oceniałe(a)ś
1
0
@Niemiec_z_Niemiec
Mam dwa. W tym HP48GX. Używam. RPN jest tak naturalny, że na telefonie też mam kalkulator z RPN.
już oceniałe(a)ś
0
0
Obraz rzeczywisty ma strukturę różniczkową. Bez tego trudno o efektywną analizę obrazu.
@m.g.
no ale to stwierdzenie też jest bez sensu (albo zbyt dużym uproszczeniem): no bo że niby obraz "rzeczywisty" można różniczkować, że jego immanentną częścią są różniczki, że w dowolnym miejscu takiego obrazu (ciężko mi sobie nadal wyobrazić "obraz rzeczywisty") nie ma krawędzi, załamań, same tylko gładkie przejścia, gradienty itp.?

wydaje mi się, że takie "oczywiste fakty" to jednak nadużycie, bo to jedynie interpretacja matematyczna rzeczywistości (popularna, ale przecież niejedyna!). ciężko tu wyrokować w ogólności: wszystko zależy od zastosowań, celów itp. może akurat zdarzyć się, że z czyjegoś punktu widzenia "struktura różniczkowa obrazu rzeczywistego" może być zupełnie nieistotna i mogłaby nie istnieć (bo tak naprawdę nie istnieje, o ile ktoś jednak jej nie wprowadzi, bo mowa chyba o reprezentacji matematycznej?).
już oceniałe(a)ś
0
0