Karol Borsuk to jedna z najznamienitszych postaci warszawskiej szkoły matematycznej. Jego specjalnością była topologia, którą rozwijał ze swoim uczniem i doktorantem Samuelem Eilenbergiem.

Topologia zajmuje się badaniem tych własności obiektów - np. figur geometrycznych i brył - które nie ulegają zmianie nawet po ich mocnym zdeformowaniu. Przy tym dopuszczalne są najbardziej radykalne zniekształcenia - rozciąganie, zaginanie czy ściskanie, ale niedozwolone jest przecinanie i sklejanie. Wyobraźcie sobie, że obiekty są wykonane z plasteliny i możecie je dowolnie ugniatać i formować, byle nie rozrywać i nie sklejać ze sobą żadnych kawałków.

Z punktu widzenia topologii kula jest więc równoważna sześcianowi, walcowi czy stożkowi (albo nawet, dajmy na to, widelcowi!), a trójkąt jest tym samym co koło czy kwadrat. Podobnie kubek nie różni się od torusa, bo drogą stopniowych deformacji można je w siebie przekształcić (patrz animacja poniżej).

Krąży żart, że topolog to matematyk, który nie potrafi odróżnić kubka do kawy od obwarzanka.
embed

Borsuk zajmował się topologią geometryczną, czyli uogólnianiem pojęć geometrycznych na coraz bardziej złożone poziomy abstrakcji, na przykład więcej niż trzy wymiary.

Eilenberg specjalizował się zaś w topologii algebraicznej, która przestrzeniom i przekształceniom topologicznym przyporządkowuje obiekty algebraiczne (takim obiektem jest np. zbiór liczb całkowitych z dodawaniem albo liczb wymiernych z mnożeniem). Operując metodami algebry, można wysnuć wnioski na temat własności topologicznych badanych przestrzeni.

Borsuk wkładał okulary, gdy zaglądał w 17 wymiarów

Już w pracy doktorskiej, którą bronił w 1930 r. na Uniwersytecie Warszawskim, Borsuk wprowadził pojęcia retraktów, które do dziś są jednym z podstawowych narzędzi stosowanych w topologii. Retrakty to - w uproszczeniu - podzbiory przestrzeni topologicznych, które mają taką własność, że cała przestrzeń może zostać w nie przekształcona w sposób ciągły (sam podzbiór pozostaje przy tym nienaruszony). Retraktem może być punkt, półpłaszczyzna czy kwadrat.

Borsuk wymyślił też pojęcie sympleksu, czyli uogólnił pojęcie trójkąta na wiele wymiarów. Na płaszczyźnie trójkąt to zbiór punktów ograniczonych trzema odcinkami, jego odpowiednikiem w przestrzeni trójwymiarowej jest czworościan (tj. obiekt ograniczony czterema trójkątami). W wyższych wymiarach wyobraźnia zaczyna się gubić, bo analogiem trójkąta w czterowymiarowej przestrzeni jest pentachoron, który ma 10 ścian, 10 krawędzi i 5 wierzchołków (to czterowymiarowy obiekt, który jest ograniczony pięcioma trójwymiarowymi czworościanami). A dalej robi się jeszcze trudniej, np. 10-sympleks ma 11 wierzchołków, 55 krawędzi i 165 ścian i „żyje sobie” w przestrzeni dziesięciowymiarowej.

______________

W czasie wojny Niemcy zamknęli Uniwersytet Warszawski i zakazali profesorom nauczania. Borsuk otworzył sklep papierniczy, który nie tylko dawał utrzymanie rodzinie, ale też przy okazji stanowił punkt kontaktowy Armii Krajowej. Profesor zaczął opracowywać gry planszowe. Pierwszą z nich była „Hodowla zwierzątek”. Borsuk wykorzystał swoją wiedzę matematyczną do precyzyjnego opracowania reguł gry. Element losowy wprowadzały nietypowe dwunastościenne kostki. Gra wydawana była metodą chałupniczą i zdobyła ogromną popularność. To właśnie z tego okresu pochodzą wspomnienia o zabawnych dialogach telefonicznych, bowiem profesor Borsuk był pogodnym człowiekiem i lubił żartować również z siebie.

Oryginalna gra 'Hodowla zwierzątek' z 1943 r.Oryginalna gra 'Hodowla zwierzątek' z 1943 r. Karol Borsuk/Granna

_______________

Po wojnie Borsuk opracował topologiczną teorię kształtu, która przekłada intuicje geometryczne na język topologii (przypomnijmy, że dla topologa widelec i piłka to to samo, ale co innego niż obwarzanek).

To z tego czasu pochodzi zaproponowana przez niego przestrzeń topologiczna, zwana przez topologów na całym świecie okręgiem warszawskim, która powstaje przez połączenie łukiem „końców” wykresu funkcji sin(1/x) na odcinku (0,1].

Okrąg warszawskiOkrąg warszawski 

Wykres tej funkcji im bliżej jest zera, tym szybciej oscyluje (bo wartość 1/x ucieka coraz szybciej do nieskończoności). Z jednej strony intuicja podpowiada, że okrąg warszawski w kategoriach topologicznych powinien być tym samym co zwykły okrąg, jeśli patrzymy tylko na charakter przestrzeni, z drugiej - żadne z wcześniejszych narzędzi nie pozwalało przeprowadzić takiego przyporządkowania. Dopiero teoria kształtu proponowana przez Borsuka umożliwiła takie uogólnienie.

W swojej pracy „Theory of Retracts” ("Teoria retraktów") z lat 60. zeszłego wieku Borsuk podał też pomysł na oryginalną przestrzeń topologiczną, zwaną „trąbką Borsuka” (a czasem „czapką błazna”). Powstaje ona ze sklejania ze sobą trzech brzegów trójkąta (jak na obrazku poniżej):

Kolejne etapy powstawania 'trąbki Borsuka'Kolejne etapy powstawania 'trąbki Borsuka' wikipedia

A oto końcowy efekt sklejania, czyli "trąbka Borsuka":

Trąbka BorsukaTrąbka Borsuka wikipedia

Borsuk do końca życia mieszkał w Warszawie i i pracował na Uniwersytecie Warszawskim, choć współpracował z dziesiątkami ośrodków matematycznych na świecie.

- Cichy, spokojny, zawsze w szarym angielskim garniturze. Czasami nakładał okulary. Wtedy - mówiono - gdy musiał dojrzeć coś w przestrzeni o wymiarze większym niż 17, do mniejszych wymiarów okulary nie były mu potrzebne - wspomina Bogdan Miś, który chodził na jego wykłady z geometrii jako student pierwszego roku na Uniwersytecie Warszawskim.

- Świetny wykładowca. Z pozoru ogromnie nieśmiały, robił wrażenie stale speszonego. Ale ten pozór znikał, kiedy zaczynał mówić o matematyce. Wtedy to on onieśmielał - dodaje.

Paradoksalnie największą sławę przyniosła mu gra planszowa „Hodowla zwierzątek”, którą z inicjatywy pani Zofii Borsukowej w 15. rocznicę śmierci matematyka wydała firma Granna pod nazwą "Superfarmer". Planszówka stała się międzynarodowym hitem, wydano ją w wielu wersjach językowych, trafiła do przeszło 20 krajów świata, sprzedano blisko milion egzemplarzy – z pewnością trafiła do szerszego grona odbiorców niż wszystkie genialne prace naukowe profesora razem wzięte, których napisał przeszło 200.

Eilenberg, czyli profesor „Sammy” z Nowego Jorku

Być może jedną z największych zasług Borsuka było odkrycie talentu Samuela Eilenberga, który był jego studentem - uczęszczał na prowadzone przez Borsuka ćwiczenia z analizy rzeczywistej do wykładów profesora Samuela Dicksteina.

Borsuk zafascynował go topologią, został opiekunem jego doktoratu, wspólnie napisali kilka prac. Ich ścieżki naukowe rozdzieliły się w 1939 roku, gdy Eilenberg wyemigrował za ocean, a kontakty między Warszawą i Stanami Zjednoczonymi przerwała wojna.

Eilenberg stworzył podwaliny pod całą wielką dziedzinę, która w amerykańskim systemie klasyfikacji stanowi teraz osobny 18. dział matematyki, zwany „teorią kategorii, algebrą homologiczną”.

Wszystkie prace matematyczne w tym temacie publikowane w USA powinny zawierać stosowny numer, który zaczyna się od 18.

Przez wiele lat pracował na nowojorskim Uniwersytecie Columbia, po wojnie kilkukrotnie prywatnie przyjeżdżał do Polski, trochę zapomniany przez warszawskie środowisko matematyczne. Dopiero w 1991 r. oficjalnie zaproszono go na konferencję matematyczną, na której wygłosił wykład „Czterdzieści lat powojennej topologii”.

Samuel Eilenberg (1913-1998). Na zdjęciu odbiera doktorat honoris causa na Sorbonie w 1989 r.Samuel Eilenberg (1913-1998). Na zdjęciu odbiera doktorat honoris causa na Sorbonie w 1989 r. Fot. OLIVIER BOITET / AP Photo

Był wielkim kolekcjonerem i znawcą sztuki Dalekiego Wschodu. W 1989 r. zaprezentował kolekcję ogromnej wartości Metropolitan Museum of Art, które w dowód wdzięczności ufundowało na Uniwersytecie Columbia profesurę gościnną imienia Samuela Eilenberga. Dzieła z jego kolekcji znajdują się również m.in. w British Museum. 

W świecie kolekcjonerów sztuki znany był jako „profesor”, koledzy matematycy zwali go „Sammy”. 

UWAGA, KONKURS! Wielcy polscy matematycy znani i nieznani. Konkurs dla szkół ponadpodstawowych i organizacji pozarządowych. Pula nagród: 130 tys. zł

Trzy twierdzenia Borsuka

  1. Twierdzenie antypodach. Na powierzchni kuli ziemskiej w każdej chwili istnieje para punktów antypodycznych (tj. położonych dokładnie po przeciwnych stronach Ziemi), w których temperatura i ciśnienie są takie same. Autorem tezy był Stanisław Ulam, dowód przedstawił Borsuk w "Fundamenta Mathematicae" w 1933 r.
  2. Twierdzenie o zaczesaniu. Kuli pokrytej włosami nie można nigdy gładko zaczesać, zawsze jest co najmniej jeden punkt, w którym włosy utworzą wir bez określonego kierunku.
  3. Twierdzenie o UFO. Przestrzeń euklidesowa wymiaru 3 jest zanurzalna izometrycznie w przestrzeni pięciowymiarowej, czyli - mówiąc w uproszczeniu - przestrzeń trójwymiarowa da się zwinąć w coś w rodzaju kulki dowolnie małej średnicy w przestrzeni pięciowymiarowej. Podobno Borsuk tak to skwitował: „No to teraz dziennikarze będą mogli pisać, że UFO przybywa do nas z przestrzeni pięciowymiarowej”.

PS Czy jest jakieś praktyczne zastosowanie topologii, czy to wyłącznie "sztuka dla sztuki"

W 2016 roku Nagroda Nobla za wybitne osiągnięcia w dziedzinie fizyki trafiła do Davida Thoulessa, Duncana Haldane'a i Michaela Kosterlitza. Komitet Noblowski docenił ich pracę w dziedzinie topologicznych przejść fazowych i topologicznych faz materii. Własności materii znajdującej się w jednej z topologicznych faz nie zależą od tego, z czego jest ona zbudowana, lecz od jej globalnych parametrów (tj. pewnych niezmienników topologicznych).

Fizycy już odkryli i opisali wiele różnego rodzaju topologicznych stanów i przejść fazowych w magnetycznych filmach, nadprzewodzących warstwach i nadciekłym helu. Topologiczne izolatory, nadprzewodniki czy metale należą obecnie do najbardziej "gorących" tematów badań w dziedzinie elektroniki.

Nie zawsze prace matematyków znajdują konkretne zastosowanie, ale, jak widać, topologia już doczekała się praktycznego wykorzystania.

_____________

Korzystałem z pracy prof. Stanisława Jackowskiego „Samuel Eilenberg – wielki matematyk z Warszawy” i „Matematyki dla humanistów” Michała Szurka