***Uwaga, zapraszamy uczniów szkół podstawowych do matematycznego konkursu. Atrakcyjne nagrody, m.in. granty do 5 tys. zł!***

„Melancholia Haruhi Suzumiyi" to 14-odcinkowy serial oparty na ilustrowanych powieściach o przygodach japońskich nastolatków podróżujących w czasie. Dzięki zaburzonej chronologii serię można oglądać w dowolnej kolejności.

W 2011 roku fani anime zaczęli się zastanawiać, jak długi musiałby być maraton „Melancholii”, jeśli chcieliby obejrzeć wszystkie 14 odcinków w każdym możliwym porządku.

W przypadku dwuodcinkowej serii wystarczyłby seans 1-2-1 lub 2-1-2, ale przy większej ich liczbie sprawa się komplikuje. Do tego stopnia, że po lekkim przeformułowaniu zagadką zainteresowali się matematycy. Pytanie, jakie postawili, brzmiało: jaka jest najkrótsza długość superpermutacji odcinków serialu (lub dowolnego innego zbioru)?

Co to jest superpermutacja?

Wyobraźmy sobie, że każdemu odcinkowi odpowiada jedna karta w talii. Permutacja zbioru to po prostu przetasowanie kart, czyli różne sposoby obejrzenia kolejnych odcinków, np. wszystkie permutacje trzyodcinkowego serialu to: 1-2-3, 1-3-2, 2-1-3, 2-3-1, 3-1-2, 3-2-1.

Z kolei superpermutacje zawierają wszystkie permutacje, czyli możliwe maratony danego serialu. Przy trzech odcinkach moglibyśmy po prostu zlepić ze sobą wszystkie sześć permutacji: 1-2-3-1-3-2-2-1-3-2-3-1-3-1-2-3-2-1, ale wtedy musielibyśmy zaliczyć 18-odcinkowy maraton. Czy możemy jednak zaoszczędzić trochę czasu?

Tak, na przykład układ 1-2-3-1-2-1-3-2-1 spełnia nasze wymagania (sprawdźcie!) i jest o połowę krótszy. Długości najkrótszych superpermutacji błyskawicznie zwiększają się wraz z liczbą odcinków serialu: przy czterech nasz maraton miałby długość 33, a przy pięciu 153. Co z 14 (to najbardziej interesowało fanów serialu)? A co z dowolną liczbą odcinków?

Nawet najmocniejsze komputery nie potrafią znaleźć najkrótszej superpermutacji dla większej liczby odcinków. Dlatego od ćwierćwiecza matematycy poszukiwali przynajmniej zakresu długości maratonu anime.

W tym roku matematyk, a przy tym autor książek science fiction Greg Egan znalazł jego górną granicę, czyli liczbę odcinków, która na pewno wystarczy do zrealizowania celu.

Dolna granica (absolutne minimum długości maratonu) wraz z dowodem pojawiła się w najbardziej nieoczekiwanym miejscu: na forum internetowym fanów japońskich filmów rysunkowych.

[dla zainteresowanych: link do wątku z tego forum, a pod tym linkiem znajdziecie bardziej formalny zapis dowodu]

Matematycy przystąpili do ekspresowej internetowej recenzji i wygląda na to, że dowód jest poprawny, a anonimowy internauta już doczekał się cytowania w artykule naukowym.

„Ten dowód pokazuje, że nie musisz być profesjonalnym matematykiem, aby matematykę rozumieć i poszerzać granice wiedzy” - stwierdził Jay Pantone, żywo zainteresowany sprawą matematyk z Marquette University. I dodał, że „piękno matematyki polega na tym, że każdy może zrozumieć pytania”.

Ile potrwa obejrzenie maratonu serialu anime w każdej możliwej kolejności?

A co to odkrycie oznacza dla fanów „Melancholii Haruhi Suzumiyi"? Dużo radości z oglądania, gdyż z dowodu wynika, że maraton 14 odcinków w każdym możliwym porządku zajmie bardzo dużo czasu.

Według zaproponowanych wzorów wystarczą 93 mld 924 mln 230 tys. 411 odcinki, aby obejrzeć serię o przygodach Haruhi w każdej kolejności – to górna granica długości maratonu.

Z kolei jeśli zobaczymy mniej niż 93 mld 884 mln 313 tys. 611 odcinków, to nie osiągniemy dolnej granicy, czyli na pewno pominiemy pewien układ. Matematycy pracują nad zawężeniem tego przedziału długości superpermutacji – ich celem jest teraz jedna, konkretna liczba.

Tożsamość sprawcy całego zamieszania wciąż pozostaje nieznana. Nic dziwnego, jest bardzo zajęty, w końcu sam udowodnił, że obejrzenie „Melancholii Haruhi Suzumiyi" we wszystkich możliwych kombinacjach zajmie mu ponad 4 miliony lat.

_______________

Paulina Rowińska jest doktorantką na wydziale matematyki na Imperial College London, popularyzatorką nauki, finalistką tegorocznego konkursu FameLab. Prowadzi własnego bloga, publikuje m.in. w serwisie Crazy Nauka, magazynie studenckim "Felix"