Pi jest niewątpliwie najsłynniejszą liczbą świata. W przybliżeniu równa jest 3,14. Tak w notacji amerykańskiej zapisuje się datę 14 marca (Amerykanie najpierw wymieniają miesiąc, potem dzień) i dlatego tego dnia obchodzony jest Dzień Pi.

Dzisiejsze święto zostało wymyślone i pierwszy raz było obchodzone w roku 1988 w San Francisco w Exploratorium, pierwszym centrum nauki na świecie.

PRZECZYTAJ TEŻ: 3 i 14 krótkich historii o liczbie pi. Bo dziś jej święto

Gdzie występuje pi?

To liczba, która panoszy się dosłownie wszędzie. Znajdujemy ją, co oczywiste, we wzorach na obwód koła (2*pi*r), pole koła (pi*r^2), a także pola i objętości tzw. brył obrotowych, czyli kuli, walca i stożka.

Ale pi króluje nie tylko w geometrii - występuje także w analizie matematycznej, teorii liczb i rachunku prawdopodobieństwa. Pojawia się we wzorach demograficznych, równaniach teorii grawitacji Einsteina, ba, nawet w słynnej zasadzie nieoznaczoności kwantowej Heisenberga.

Pomyślcie tylko, stosunek obwodu koła do średnicy w fizyce kwantowej? Doprawdy pi jest wszechstronna.

Zawsze mnie to fascynowało i uważałem to za wielką tajemnicę, dopóki nie przeczytałem wyjaśnienia na blogu matematyka Alona Amita.

Oczywiście jest prawdą, że pi jest równe stosunkowi długości obwodu koła do jego średnicy. Ale, jak pisze Amit, to nie ta własność jest istotą tej liczby i jej fundamentalną cechą. W ten sposób ją jednak poznajemy w szkole i na tym często kończymy poznanie, co sprawia, że wielu z nas do końca życia ma o niej mylne pojęcie.

Wydaje się nam, że pi jakoś zależy od geometrii Wszechświata czy sposobu, w jaki mierzymy kąty, długości, powierzchnie i objętości.

'To, oczywiście, nieprawda - pisze Amit. - Liczbę pi nic a nic nie obchodzi struktura Wszechświata ani okręgi w realnym świecie. W rzeczywistości tak naprawdę nie chodzi tu o okręgi

Funkcja, która rządzi światem

Czym jest więc tak naprawdę pi? Dlaczego liczba jest tak wszechobecna, w czym tkwi tajemnica jej uniwersalności?

PRZECZYTAJ TEŻ: Jak gra matematyka. Słyszałeś o etiudzie w rytmie pi?

Odpowiedź ukrywa się w niezwykłym, przepięknym obiekcie matematycznym: zespolonej funkcji eksponencjalnej, w skrócie oznaczanej jako exp(z).  

Wielu matematyków uważa ją za najważniejszą funkcję w matematyce.

To funkcja wykładnicza o podstawie równej e, zwanej liczbą Eulera (w przybliżeniu e=2,718...). Określona na płaszczyźnie zespolonej, tj. jej argumentami są liczby zespolone składające się z części rzeczywistej i urojonej). Jej odwrotnością jest funkcja logarytmiczna.

Spośród innych funkcji wyróżnia ją to, że jest tożsama swojej pochodnej. Amit twierdzi, że to właśnie jest kluczem do jej uniwersalności i zastosowań w fizyce, gdzie pochodne i różniczkowanie są podstawą równań ruchu, zarówno w mechanice klasycznej jak i kwantowej.

Funkcji eksponencjalnej używa się do opisu wielu procesów i zjawisk naturalnych - od wzrostu populacji po bieg elektrycznych impulsów w sieci, rozpad pierwiastków promieniotwórczych czy kapitalizację odsetek od lokat bankowych.

Za pomocą funkcji eksponencjalnej można też przybliżać dowolne inne funkcje (w postaci tzw. transformaty Fouriera). Dlatego pojawia się ona w bardzo wielu i bardzo różnych kontekstach w fizyce, chemii, inżynierii, socjologii, ekonomii. 

No dobrze, ale co to ma wspólnego z liczbą pi?

Exp(z) jest funkcją okresową, tj. jej wartości powtarzają się cyklicznie w stałych odstępach. I jak się okazuje, tym odstępem - okresem funkcji eksponencjalnej - jest liczba urojona 2*pi*i (przy tym i to taka liczba urojona, która podniesiona do kwadratu daje -1).

To właśnie tutaj wyłania się pi jako uniwersalna stała, która wnosi swoje trzy grosze wszędzie tam, gdzie do opisu zjawiska użyliśmy funkcji eksponencjalnej, a więc naprawdę w niezliczonych sytuacjach.

Alon Amit, nie tylko zresztą on, uważa, że specjalną rolę w naszym świecie odgrywa nie liczba pi, lecz jej podwojona wartość (2*pi), a nawet urojona 2*pi*i, bo ona jest tak naprawdę pełnym okresem funkcji eksponencjalnej. To by znaczyło, ze święto należy obchodzić w dniu odpowiadającym podwojonej wartości pi, a więc w przybliżeniu 6,28, czyli 28 czerwca!

Paradoksalnie, w samej liczbie pi... wyjątkowości nie ma

Bo sama z siebie liczba pi jest taką liczbą jak wiele innych. Nieskończenie wiele innych - dodajmy.  Wymieńmy pokrótce, co wiadomo o jej własnościach:

  1. Ma nieskończone rozwinięcie dziesiętne, czyli po najbardziej znanych pierwszych trzech cyfrach 3,14... występuje jeszcze nieskończenie wiele cyfr. Ale taką własność mają prawie wszystkie liczby z osi liczbowej, np. także banalna 1/3.
  2. Jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe (żadna sekwencja jej cyfr nie powtarza się w nieskończoność). O takich liczbach mówimy, że są niewymierne, ale jest ich także nieskończenie wiele. Należy do nich np. banalny pierwiastek z 2.
  3. Nie da się jej wyrazić poprzez skończoną liczbę działań takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, wyciąganie pierwiastków, w których biorą udział liczby całkowite. Czyli jak mówią matematycy - jest liczbą przestępną. Ale to także nic wyjątkowego - zdecydowanie większa część liczb (prawie wszystkie) ma taką własność.

Jednym słowem, liczba pi nie wyróżnia się niczym szczególnym spośród innych liczb rzeczywistych, jakie wypełniają oś liczbową. To po prostu przeciętniak, podobny do nieskończonej i nieprzeliczalnej ilości innych liczb, jakie tam się znajdują.

Znaczenie nadaje liczbie pi dopiero wyjątkowa pozycja, jaką zajmuje w okresie funkcji eksponencjalnej. 

Wiersz na Dzień Pi

Ach, byłbym zapomniał! Oczywiście, pi pełni także wyjątkową rolę w polskiej i światowej poezji, jako bohaterka jednego z wierszy Wisławy Szymborskiej (z tomu "Wielka liczba"):

Podziwu godna liczba Pi
trzy koma jeden cztery jeden.
Wszystkie jej dalsze cyfry też są początkowe,
pięć dziewięć dwa, ponieważ nigdy się nie kończy.
Nie pozwala się objąć sześć pięć trzy pięć spojrzeniem
osiem dziewięć obliczeniem
siedem dziewięć wyobraźnią,
a nawet trzy dwa trzy osiem żartem, czyli porównaniem
cztery sześć do czegokolwiek
dwa sześć cztery trzy na świecie.
Najdłuższy ziemski wąż po kilkunastu metrach się urywa
podobnie, choć trochę później, czynią węże bajeczne.
Korowód cyfr składających się na liczbę Pi
nie zatrzymuje się na brzegu kartki,
potrafi ciągnąć się po stole, przez powietrze,
przez mur, liść, gniazdo ptasie, chmury, prosto w niebo,
przez całą nieba wzdętość i bezdenność.
O, jak krótki, wprost mysi, jest warkocz komety!
Jak wątły promień gwiazdy, że zakrzywia się w lada przestrzeni! A tu dwa trzy piętnaście trzysta dziewiętnaście
mój numer telefonu twój numer koszuli
rok tysiąc dziewięćset siedemdziesiąty trzeci szóste piętro
ilość mieszkańców sześćdziesiąt pięć groszy
obwód w biodrach dwa palce szarada i szyfr,
w którym słowiczku mój a leć, a piej
oraz uprasza się zachować spokój,
a także ziemia i niebo przeminą,
ale nie liczba Pi, co to to nie,
ona wciąż swoje niezłe jeszcze pięć,
nie byle jakie osiem,
nieostatnie siedem,
przynaglając, ach, przynaglając gnuśną wieczność
do trwania.

PRZECZYTAJ TEŻ: Od zera do googola. Bestiarium matematyczne