Nasza nauczycielka matematyki była bardzo serio. Może uważała, że powinna być taka poważna, by nie odbierać powagi przedmiotowi, który wykładała? W każdym razie im była bardziej serio, tym bardziej nas, uczniów, ciągnęło do żartów. Któregoś dnia napisaliśmy na tablicy ciąg równań:

  • Weźmy takie a, b i c, że b + c = a
  • mnożymy obie strony przez 2: 2a = 2b + 2c
  • dodajemy stronami dwa powyższe równania: 2a + b + c = 2b + 2c + a
  • przenosimy niektóre wyrazy na drugą stronę: 2a - 2b - 2c = a - b - c
  • w rezultacie otrzymujemy równanie: 2(a - b - c) = (a - b - c)
  • teraz dzielimy obie strony przez a - b - c
  • I otrzymujemy: 2 = 1, czyli 1 + 1 = 1

Błąd w powyższym rozumowaniu był oczywisty (nieuprawnione dzielenie przez zero, bo a - b - c = 0), ale nasza profesorka, ku niekłamanej uciesze klasy, długo nie potrafiła go wskazać, co ją jeszcze bardziej irytowało. Bo w matematyce - jak w księgowości - rachunek musi się zgadzać.

Ale w życiu, czyli w przyrodzie, bywa z tym - o dziwo - bardzo różnie.

Gdy jeden i jeden nie składają się do dwóch, a matematyka zdaje się zawodzić, to nieomylny sygnał, że zbliżamy się do jakiejś tajemnicy Natury (jeśli oczywiście nie popełniliśmy zwykłego błędu rachunkowego).

To nie przelewki

Pierwsze starcie z matematyką następuje jeszcze na lekcji chemii. Jeśli macie dwie litrowe zlewki pełne wody i wlejecie je do większego naczynia, ile litrów wody będzie w naczyniu? Głupie pytanie, nieprawdaż? Oczywiście dwa litry. Podobnie, jeśli weźmiecie dwie litrowe zlewki etanolu i je zlejecie, otrzymacie dwa litry etanolu (alkoholu).

Ale jeśli zmieszacie litr etanolu i litr wody, nie dostaniecie dwóch litrów płynu. Będzie go mniej - zabraknie mniej więcej 100 ml, czyli około pół szklanki. Dlaczego? Gdzie się podziewa brakująca objętość?

Odpowiedź przynosi przyjrzenie się obu cieczom na poziomie cząsteczkowym. Cząsteczki etanolu są sporo większe niż cząsteczki wody, więc kiedy te dwa płyny mieszają się, cząsteczki wody częściowo zapełniają "wolne miejsca" między cząsteczkami etanolu.

To trochę przypomina mieszanie kamieni i piasku - jeśli weźmiesz wiaderko kamieni i drugie wiaderko wypełnione piaskiem i wsypiesz piasek do kamieni, ten wypełni wolne miejsca między kamieniami.

Objętości płynów (cieczy i gazów) nie dodają się tak, jak podpowiada to prosta arytmetyka. Zachowanie objętości mieszających płynów zależy nie tylko od rozmiarów  ich cząsteczek, ale i od natury sił międzycząsteczkowych - wiązań wodorowych, sił dyspersyjnych Londona, oddziaływań dipolowych - czyli tego wszystkiego, co sprawia, że woda "oglądana" na poziomie molekularnym składa się przede wszystkim z... pustki. Podobnie zresztą jak z pustki poprzetykanej z rzadka materią składa się też wszystko inne - w tym stół i solidne krzesło na którym siedzimy.

Bilans energii, w którym czegoś brakuje

W 1934 roku Wolfgang Pauli studiował jeden ze sposobów rozpadu jąder atomowych, tzw. rozpad beta. W rozpadzie tym jądro atomowe wyrzuca z siebie elektron i zamienia się w inne jądro atomowe. Proces ten przebiegał w nieco zwariowany sposób, bo uwalniany elektron za każdym razem uciekał z inną energią.

Niczego podobnego wcześniej nie widziano. W rozpadzie alfa oraz gamma wylatujące z jądra cząstki zawsze zachowywały się przewidywalnie. Miały energię, która była równa różnicy między początkowym a końcowym stanem energetycznym jądra. Jednak w przypadku rozpadu beta rachunek się nie zgadzał.

Co się działo? Czyżby matematyka zawodziła? A może coś "kradnie" energię w tym procesie?

Wolfgang Pauli zaproponował błyskotliwe rozwiązanie: założył, że w procesie oprócz elektronu bierze udział jeszcze jedna cząstka, której do tej pory nikt nie zauważył. I to ona zabiera część energii, której brakuje w rachunku.

Enrico Fermi nadał tej nieznanej cząstce nazwę neutrino. Problem polegał na tym, że w żaden sposób nie można było jej wykryć. Na istnienie neutrina - określanego czasami mianem "cząstki ducha" - wskazywała jedynie matematyka, tj. rachunek energii. Pauli martwił się, że wprowadził do fizyki obiekt, który na zawsze pozostanie niewidzialny.

"Zrobiłem straszną rzecz, zapostulowałem istnienie cząstek, które nie mogą być odkryte..." - pisał Pauli.

Ostatecznie jednak neutrina udało się "przyłapać" ćwierć wieku później. Clyde Cowan i Frederick Reines zamontowali układ pomiarowy w pobliżu reaktora jądrowego, który jest bardzo silnym źródłem neutrin (początkowo rozważali nawet ustawienie detektorów przy bombie atomowej, której eksplozja także emituje mnóstwo tych cząstek).

Jak może wyglądać ujemne jabłko?

Mniej więcej w tym samym czasie, kiedy Pauli tropił nieuchwytne neutrina, Paul Dirac zaproponował matematyczne równanie opisujące stan elektronu i uwzględniające efekty relatywistyczne. Przewidywania wynikające z tego równania zgadzały się z faktami doświadczalnymi, ale jedna sprawa wydawała się nieco podejrzana.

Mianowicie równanie to miało dwa rozwiązania. Jedno, pasujące do opisu elektronu, miało dodatnią energię. Drugie - symetryczne - ujemną. Czy możliwa jest cząstka, która ma ujemną energię? Zdrowy rozum mówił, aby to rozwiązanie po prostu zignorować. 

Dirac jednak doszedł do wniosku, że to nie jest "wybryk matematyki". Jego zdaniem drugie rozwiązanie, ujemne, opisywało inną, nieznaną wówczas cząstkę, która jest podobna do elektronu, ale ma przeciwny ładunek.

Wkrótce Carl Anderson badając promieniowanie kosmiczne, wykrył ślad takiej lekkiej cząstki podobnej do elektronu, lecz dodatniej, którą nazwano pozytonem. Była to pierwsza odkryta cząstka antymaterii. Zetknięcie elektronu i pozytonu prowadzi do ich anihilacji - obie cząstki znikają, pozostaje jedynie błysk promieniowania.

Antymateria została więc najpierw znaleziona w równaniu matematycznym, a dopiero potem w laboratorium.

- Fizyk, badając zjawiska naturalne, może czynić postępy w dwojaki sposób: poprzez eksperymentowanie i obserwację, albo poprzez matematyczne rozumowanie - mówił potem Dirac w wykładzie nagrodzonym w 1939 roku przez Royal Society of Edinburgh. - Pierwsza metoda polega na gromadzeniu obserwacji i danych eksperymentalnych; druga umożliwia wnioskowanie o wynikach takich eksperymentów, które nie zostały nawet wykonane. Nie ma żadnego logicznego powodu, dla którego druga metoda miałaby w ogóle działać, ale w praktyce okazało się, że działa i okazuje się bardzo skuteczna.

- Można powiedzieć - dziwił się Dirac - że matematyk gra w grę, której zasady sam wymyśla, podczas gdy fizyk gra w grę, której zasady określa Natura. Z biegiem czasu okazuje się, że zasady, które wymyślił matematyk, są takie same jak te, które wybrała Natura.

Kosmiczne manko

Matematyka stawia przed fizykami zagadki także i dziś. Bo ciągle w naszych rachunkach przyrodniczych nie wszystko się zgadza. Największe jak dotąd manko zanotowali astrofizycy - nie są w stanie doliczyć się 96 proc. Wszechświata. Trochę dużo, prawda? To nie jest 10, czy 20 proc., na które można by jeszcze przymknąć oko. Ale w kosmosie mamy dosłownie kosmiczną rozbieżność w rachunku energii i masy.

Jak to zauważono? Gwiazdy z obrzeża galaktyk poruszają się o wiele za szybko, jak na wielkość masy galaktyki, która je przyciąga. Przy tych prędkościach wirowania cała galaktyka powinna się dawno rozpaść, albo znajduje się w niej więcej masy, niż widzimy.

Z sumarycznego rachunku wynika, że Wszechświat musi być wypełniony ciemną, niedostrzegalną materią, oraz że zawiera jeszcze więcej równie tajemniczej energii.   Problem polega na tym, że nie ma zgody co do tego, czym są owe ciemna materia i ciemna energia, mimo że stanowią ponad 90 proc. kosmosu. Profesor Malcolm Longair z Cambridge sporządził listę możliwych odpowiedzi na to pytanie - poczynając od planet i gwiazd o małej masie, które świecą na tyle słabo, że ich nie widać z Ziemi,  skończywszy na cegłach i starych egzemplarzach "Astrophysical Journal".

Być może nigdy nie da się odkryć, czym są te ciemne składniki Wszechświata, bo może w ogóle nie istnieją. Być może nie zawodzi nas wzrok, lecz prawa grawitacji Newtona.

Na razie trudno powiedzieć, do jakiego odkrycia doprowadzi nas w tym wypadku matematyka. Ale fizycy już dziś podejrzewają, że będzie to rewolucja w fizyce.

__________________________

Przyjdź na Festiwal Matematyki

Matematyka może być fajna! My nie mamy co do tego wątpliwości. Podobnie jak coraz większa grupa metodyków, edukatorów i nauczycieli, która dzieli się dobrymi praktykami w zakresie uczenia matematyki, tak aby to była przygoda a nie udręka. Spotykamy się co jakiś czas na dość niezwykłej imprezie - Festiwalu Matematyki. Właśnie zbliża się jego kolejna edycja.

Już 18 listopada w siedzibie Agory przy ul. Czerskiej 8/10 w Warszawie będzie można spotkać się z ludźmi, którym leży na sercu dobre nauczanie matematyki. Znajdziemy tu pasjonatów, komercyjne firmy, metodyków. Odbędą się warsztaty dla dzieci, rodziców i nauczycieli.

Wstęp jest wolny. Prosimy o rejestrację: www.4festiwalmatematyki.evenea.pl

Festiwal to okazja do wymiany doświadczeń i poszukania odpowiedzi na nurtujące pytania. Na przykład - jak nie stracić talentów i nie zniechęcić dzieci do matematyki?

W końcu z naukowych badań wynika, że blisko 80 proc. dzieci w wieku przedszkolnym ma zdolności matematyczne. Trudno się zresztą dziwić: matematyka to sposób rozumowania naszego mózgu, który uwielbia rytmy, powtarzalności, związki przyczynowo-skutkowe i logikę.

Festiwal Matematyki jest częścią akcji społecznej „Matematyka się liczy” prowadzonej przez „Gazetę Wyborczą” razem z mFundacją - organizacją wspierającą rozwój matematycznych talentów u dzieci oraz nauczycieli w to zaangażowanych. mFundacja prowadzi program grantowy nagradzający najciekawsze matematyczne inicjatywy. Także w ramach Festiwalu Matematyki przewidziany jest konkurs matematyczny. Zwycięzców ogłosimy podczas imprezy.

Bądźcie z nami!