W 1924 roku dwaj polscy matematycy -
Stefan Banach i
Alfred Tarski - udowodnili jedno z najbardziej szokujących twierdzeń matematyki. Mówi ono, że zwykłą kulę można podzielić na kilka części, z których da się potem złożyć dwie nowe kule, które będą dokładnie takie same jak kula początkowa.
Przy tym operacja dzielenia kuli nie kryje w sobie żadnego oszustwa. Części z podzielonej kuli nie powiększamy ani w żaden sposób nie rozciągamy. Wystarczy je tylko odpowiednio przesunąć i obrócić, aby z nich złożyć dwie kule tego samego rozmiaru, co kula pierwotna. Jak to w ogóle możliwe? Zobacz materiał!
Senat RP ustanowił rok 2019 'Rokiem matematyki', w związku z tym zapraszamy do specjalnego konkursu. Chcemy przypomnieć sylwetki wielkich polskich matematyków i promować ich wybitne osiągnięcia. Ich życiorysy i twórczość to często materiał na pasjonujący film! Chcemy, żeby młodzież poznała ich prace i zainspirowała się nimi.
Więcej informacji o konkursie znajdziesz
TUTAJ.
Dzisiejsza gazeta (e-wydanie)
Wszystkie komentarze
Czarny Budżet - przyjmie wszystko.
skro jest kwadratura koła, to analogicznie proponuję sześcianurę kuli
;)
A, no to się zgadza, bo żeby paradoks B-T zadziałał, potrzebne są części niemierzalne, to zupełnie jak kasa, która idzie z naszych pieniędzy na kler i kościół.
Można podzielić, bo tych części jest skończenie wiele. Nigdzie nie jest powiedziane, że mam brać punkty po jednym, bo myśląc w ten sposób nie mógłbym też wziąć np. odcinka na prostej, bo przecież jest nieprzeliczalny. A jeśli powiem, "weźmy wszystkie liczby niewymierne", to też nie jest ok, bo nie wziąłem każdej po kolei?
N. B.: Mazur doktoryzował się u Banacha.
Kompletnie pomieszane są te podobizny, po lewej jest chyba Mazur, po prawej Banach, Tarski w ogóle się nie pojawia. Wymowa "Gödel" poraża.
"matematicze"
Dokładnie tak, ale to już wyższa szkoła jazdy w łacinie, swoją drogą niezgodna z tradycją polską.
Co znaczy wymawia się? Tradycja polska różni się od tradycji anglosaskiej, a obie różnią się od wymowy Rzymian, o której pośrednio świadczy transkrypcja grecka i wpływy w innych językach. No chyba że coś się zmieniło w ostatnich dekadach i o czymś nie wiem.
I w której, powiedz no, wymawia się "matematikae"?
Ale to nie jest pytanie adekwatne do kuli! Liczb całkowitych jest przeliczalnie wiele, natomiast punktów w kuli jest dużo więcej: continuum, tyle, co liczb rzeczywistych.
Chociaż oczywiście na continuum działa bardzo podobne rozumowanie, tylko zamiast liczb parzystych/nieparzystych trzeba wziąć np. dwa przedziały i spróbować je na siebie przeskalować. W oczywisty sposób okazuje się, że przedziały (0, 1) i (0, 2) mają też tyle samo punktów.
To nie jest "paradoks" dlatego, że punktów jest nieskończenie wiele (przeliczalnie, czy nieprzeliczalnie, nieważne), tylko dlatego, że z obiektu o mierze (objętości) L powstają dwa obiekty, każdy o mierze L za pomocą przekształcenia, które nie zmienia miary (objętości). Oczywiście sekret w tym, że nie wszystkie części na które dzielimy są mierzalne....
W tym "dowodzeniu" jest błąd logiczny. Pojęcie nieskończoności nie jest liczbą. To jest deklaracja, że wyliczanie według pewnego wzoru trwa, że się jeszcze nie zakończyło i nigdy nie zakończy. Liczby, które (pozornie) otrzymujemy w wyniku tożsamości używających nieskończoności nie są realnymi wynikami ale GRANICAMI, do których jedynie dąży takie wyliczanie.
Dlaczego taka tożsamość jest "poprawna" (nie daje błędu)? A dlatego że ilość wyliczanych wyrazów jest dowolnie duża i te najbliższe końca trwającego wciąż wyliczania stają się pomijalnie małe w stosunku do każdej dokładności wyliczeń, której można by oczekiwać. Jeśliby przy danej ilości wyliczanych wyrazów ciągu dokładność odbiegała od teoretycznie wyliczonej granicy, to przecież można obliczyć jeszcze jeden, mniejszy od poprzedniego składnik, a potem jeszcze następny.
To zastosowanie granicy zamiast realnego wyniku albo realnej sumy wyrazów ciągu jest zgodne z intuicją i logiką. Ale jeśli z chcemy po przejściu od wyrazów szczegółowych do granicy ciągu ponownie wrócić do szczegółowości to popełniamy błąd - dzielimy na wziętą z sufitu ilość elementów to. co w samej liczbie granicznej zawiera nieokreśloną (nazywaną umownie nieskończoną) ilość elementów. I próbujemy tą liczbą lub tymi liczbami manipulować. Nie wolno tak robić.
A teraz ten przykład, gdzie tu jest błąd...
1) ile jest liczb całkowitych?
Jeśli nieskończoność jest aktywnym, niezakończonym wyliczaniem i można do niej dopisywać następne i znów następne elementy, to nie wolno mówić, że nieskończoność zawiera policzoną ilość elementów. Ktokolwiek twierdzi, że nieskończoność (nieokreślona mierzalnie wartość zawiera zmierzoną ilość elementów), ten zmienia podstawowe założenie, definicję nieskończoności. OK, zmieńmy ją, ale będziemy musieli od tej pory już tylko to założenie respektować. Nieskończoność to N elementów czyli znana nam ich ilość.
2) ile jest liczb parzystych?
Według nowego założenia jest to połowa wszystkich liczb (musimy posługiwać się tym samym N, czyli ilością kroków, w których wyliczano liczby), a więc N/2, bo co druga liczba jest parzysta.
3) ile jest liczb nieparzystych? Analogicznie, też połowa.
Jaki jest wynik rozumowania? Poprawny. Opierając się na przedefiniowaniu nieskończoności (już nie jako nieokreślonej liczby) do nieskończoności (jako liczby), otrzymujemy całkowicie poprawny wynik: N/2+N/2=N
Nie wolno w toku prowadzenia rozumowania zmieniać żadnej z definicji. Nigdy. Zawsze jest to błąd logiczny. Na podstawie takich błędnych "rozumowań" można tworzyć paradoksy, które jednych "zadziwiają" a innym mącą w głowie i podważają autorytet logiki i logicznych wywodów.
Wszedłem tu, żeby to napisać, również to polecam ten film:
www.youtube.com/watch?v=s86-Z-CbaHA
wydaje mi się, że wszystko z niego zrozumiałem;)