Każdą złożoną liczbę naturalną da się rozłożyć na czynniki pierwsze, czyli zapisać ją jako iloczyn liczb pierwszych. Jak z tego widać, są to liczby podstawowe, niczym cząstki elementarne w fizyce. Ich samych nie da się już tak rozłożyć - liczba pierwsza dzieli się bez reszty tylko przez 1 i samą siebie.

Wszyscy znamy rozkład na czynniki pierwsze ze szkoły. W "Sposobie na Alcybiadesa" Edmunda Niziurskiego jest wspaniała scena, gdy nauczyciel matematyki, przezywany Dziadzią, z rosnącym zniecierpliwieniem przypatruje się, jak jeden z uczniów - Józio Pędzelkiewicz - nie może sobie poradzić z poleceniem wypisania na tablicy kilku kolejnych liczb pierwszych. Dziadzia w końcu sam je wypisuje: 2, 3, 5, 7, co z kolei zdumiewa Pędzelkiewicza, który upiera się, że liczba 7 jest przecież liczbą ostatnią.

Liczby pierwsze końca nie mają

W rzeczywistości nie znaleziono ostatniej liczby pierwszej, bo już Euklides udowodnił, że jest ich nieskończenie wiele. Poza tym bardzo niewiele o nich wiadomo. Nie znamy żadnego wzoru, który by wyliczał kolejne liczby pierwsze. Znajduje się je po prostu metodą mozolnego sprawdzania, czy liczba się dzieli przez jakąś liczbę mniejszą od niej. W ten sposób znaleziono i skatalogowano już miliardy liczb pierwszych. Największą dziś znaną jest 274207281-1, znaleziona w styczniu tego roku, która w zapisie dziesiętnym ma aż 22 mln 338 tys. 618 cyfr.

Jeżeli w grę wchodzi tak ogromna liczba - problem sprawdzenia, czy należy do elitarnego grona liczb pierwszych, przerasta dziś największe superkomputery (i to jest wykorzystywane w niektórych popularnych i trudnych do złamania szyfrach z kluczem publicznym, np. RSA, na których opierają się m.in. operacje bankowe).

Wiadomo też, że im dalej na osi liczbowej, tym są rzadsze. Mniej więcej pod koniec XIX wieku wykazano, że prawdopodobieństwo, że liczba N jest liczbą pierwszą jest odwrotnie proporcjonalne do logarytmu z N. Ale dotychczas sądzono, że są rozmieszczone zupełnie przypadkowo na osi liczbowej i nie ma żadnej reguły, która by pozwalała na przykład wskazać, jak daleko od siebie są kolejne liczby pierwsze. W miarę jak posuwamy się wzdłuż osi liczbowej, coraz trudniej je wprawdzie napotkać, ale od czasu do czasu występują w skupiskach, po kilka naraz blisko siebie. Nie wiadomo, gdzie napotkamy takie zgęszczenia i jak będą wielkie.

Liczby pierwsze wciąż zaskakują

Tym większą sensację wywołała praca opublikowana w połowie marca przez dwóch matematyków z Uniwersytetu Stanforda w USA. Kannan Soundararajan i Robert Lemke Oliver spostrzegli dziwny rodzaj "odpychania" pomiędzy kolejnymi liczbami pierwszymi. Można by rzec, że dwie sąsiadujące liczby pierwsze nie lubią być zakończone tą samą cyfrą. Na przykład jeśli liczba pierwsza kończy się cyfrą 9, to następna po niej z większym prawdopodobieństwem (blisko 65-procentowym) będzie się kończyła cyfrą 1, a nie znowu 9. Choć na pozór oba przypadki powinny być równie prawdopodobne. Tak jakby ostatnia cyfra z jakiegoś względu nie lubiła się powtarzać. Co więcej, to "odpychanie" tych samych cyfr istnieje także dla liczb pierwszych zapisanych w innym systemie niż dziesiętny (np. systemie trójkowym, w którym do zapisu liczb stosuje się tylko trzech cyfr 0, 1 i 2).

- Studiujemy te liczby od tak dawna, a wcześniej nikt tego nie spostrzegł. To szokujące! - mówi w magazynie "Quanta" Andrew Granville, który się zajmuje teorią liczb na Uniwersytecie Montrealu i na londyńskim University College.

- To odkrycie przeczy temu, czego by się spodziewała większość matematyków - dodaje Ken Ono, specjalista od liczb z Emory University w Atlancie. Bo większość matematyków do tej pory wierzyła w losowe ułożenie tych liczb. To znaczy spodziewano się, że jest dokładnie taka sama szansa na to, że kolejna liczba pierwsza na osi liczbowej będzie zakończona cyfrą 1, 3, 7 czy też 9 (tylko takimi cyframi może się kończyć liczba pierwsza większa niż 5).

Teraz wydaje się jednak, że jakaś reguła, choć być może z elementem losowości, w rozkładzie liczb pierwszych obowiązuje. Na razie nikt nie ma pojęcia, na czym polega ta prawidłowość i czy może dzięki niej uda się zgłębić więcej tajemnic tych elementarnych liczb. Do tej pory nikt nie dowiódł na przykład hipotezy Goldbacha - że każda liczba parzysta większa od 2 może być przedstawiona w postaci sumy dwóch liczb pierwszych. Warto też wiedzieć, że liczby pierwsze mają ścisły związek z wieloma ważnymi problemami matematycznymi, m.in. słynną hipotezą Riemanna.

Studiujemy te liczby od tak dawna, a wcześniej nikt tego nie spostrzegł. To szokujące!



A być może to odkrycie nie będzie miało żadnych praktycznych konsekwencji. W całej historii najciekawsze jest to, że nikt wcześniej nie zauważył tak prostej prawidłowości, którą na dobrą sprawę odkryć mógł nawet laik. - Co więc jeszcze umyka naszej uwadze? - zastanawia się Andrew Granville.

Źródło: Quanta