*Dr Łukasz Badowski kiedyś specjalizował się w fizyce matematycznej, dziś zajmuje się komunikacją naukową. Pracuje w Centrum Nauki "Kopernik"
DR ŁUKASZ BADOWSKI: Czy ty wiesz, ile jest różnych rodzajów nieskończoności?
- Nie, no co ty! Są większe i mniejsze. To chyba oczywiste.
- Najprostsza jest taka: bierzesz liczby naturalne 1, 2, 3,... aż do nieskończoności. No, a teraz weź liczby całkowite. Czyli 0, 1, -1, 2, -2... Których jest więcej? Naturalnych czy całkowitych?
- Nie, no co ty! Jest ich tyle samo.
- No, ale możesz zrobić następującą rzecz: w jednym rzędzie wypisać wszystkie liczby naturalne, a w drugim podpisać je tak, że pod 0 dasz 0, pod 1 dasz 1, ale pod 2 dasz -1 itd. I jak to zrobisz, to się okaże, że odwzorujesz wszystkie liczby całkowite na liczby naturalne. Czyli jest ich tyle samo. Podobnie możesz zrobić z liczbami wymiernymi, czyli ułamkami. I to jest taki podstawowy typ nieskończoności. Matematycy oznaczają go hebrajska literą - alef zero. No i z niego możesz zacząć robić następne. Większe.
- Tak, bo możesz zapytać: ile jest wszystkich podzbiorów liczb naturalnych czy też całkowitych?
- No, że bierzesz grupę trzech liczb albo czterech, albo pięciu Albo nieskończenie wielu.
- Nieskończenie wiele więcej niż nieskończenie wiele.
- Słuchaj, to jest proste: jak spróbujesz te wszystkie podzbiory liczb ponumerować, czyli przypisać każdemu liczbę, to liczby ci się skończą - mimo że jest ich nieskończenie wiele - a jeszcze zostaną ci podzbiory. A potem możesz jeszcze zrobić podzbiory tych podzbiorów. Podzbiory podzbiorów podzbiorów itd. Masz więc taki nieskończony ciąg nieskończoności. Każda większa od poprzedniej. Pierwsza będzie nazywana alef jeden, kolejna alef dwa, i tak dalej... Natomiast jest pewien rodzaj nieskończoności, który sprawia problemy.
- Jak masz liczby naturalne, całkowite, wymierne, czyli ułamki, to z nimi jest wszystko pięknie, ale w pewnym momencie pojawia się też coś, co się nazywa liczby rzeczywiste.
- Można sobie taką liczbę wyobrazić na różne sposoby. Albo jako nieskończony ułamek. Niektóre będą dość banalne - na przykład 1,00000... albo 124,367500000000..., albo 0,33333 Czyli jedna trzecia. Ale są też takie, których się nie da tak zapisać. Na przykład pi. Liczba pi jest liczbą rzeczywistą. 3,1415 itd. Nieskończony ciąg różnych cyfr. No i w pewnym momencie ludzie zadali sobie pytanie: czy skoro wszystkich liczb naturalnych jest tyle samo co całkowitych, i wymiernych, to czy tak samo jest z liczbami rzeczywistymi? No i okazało się, że liczb rzeczywistych jest więcej.
- Od nieskończoności. To znaczy od tego alef zero. Czyli to jest taka większa nieskończoność.
- Rozumowanie jest dość proste. To znaczy dla matematyków. A polega na tym...
- Narysuj sobie prostą, a potem ją zakropkuj. Liczby rzeczywiste to jest ta prosta, natomiast liczby naturalne, całkowite, wymierne, to są te kropki. Różnica jest więc uderzająca. Te są osobno. A te są ciągłe. Oczywiście jak narysujesz wszystkie ułamki, to pomiędzy każdym zawsze wciśniesz jeszcze jakiś, ale one nadal będą od siebie odseparowane. A w tych pustych miejscach pomiędzy jest nieskończenie wiele liczb, których na oczy nie widziałeś. Dlatego nieskończoność liczb rzeczywistych nazywa się continuum . Matematycy używają tutaj gotyckiego c. No i teraz powstaje pytanie, zadał je sobie na przykład Georg Cantor, niemiecki matematyk żyjący na przełomie XIX i XX wieku: jak się ma nieskończoność liczb rzeczywistych do nieskończoności liczb naturalnych? Czyli jak się ma c do tych wszystkich alefów?
Cantor, próbując odpowiedzieć na to pytanie, zwyczajnie oszalał, a dziś już wiemy, że on tej odpowiedzi znaleźć nie mógł, bo jej po prostu nie ma. Albo inaczej mówiąc: każda odpowiedź, na przykład, że to jest alef jeden albo - powiedzmy alef siedemnaście, jest równie dobra.
- Bo pytanie o to, jaka jest relacja między tym, co oddzielne - fachowo nazywamy to dyskretnym - a tym, co ciągłe, to jest centralny problem matematyki.
- Bo cała fizyka, chemia, biologia, którą się opisuje matematycznie, bazuje właśnie na operacji przejścia od dyskretnego do ciągłego.
Jest taki słynny przykład antycznego greka Zenona z Elei, który uważał, że ruchu nie ma - jak patrzysz na lecącą strzałę, to w danej chwili ona stoi. Jak zrobisz jej zdjęcie, to ona stoi. I w którymkolwiek momencie byś to zdjęcie zrobił, to ona stoi. No to jak to jest, że ona się porusza?
- Ale wtedy dostaniesz dyskretny ciąg zdjęć, a nie ruch. Tak naprawdę to jest tak, że w danej chwili strzała się o nieskończenie mały kawałek przesuwa, tylko ty tego nie widzisz. Czyli ruch jest ciągły, a nie dyskretny. Żeby więc móc mówić o świecie, trzeba mieć liczby rzeczywiste. Dlatego one zresztą tak się nazywają.
Z jednej strony masz więc liczby całkowite, naturalne, i te nieskończoności z nich złożone, takie punktowe, a z drugiej - nieskończoność ciągłą, zupełnie inną. Dwa światy. I to przejście między jednym a drugim jest dość krytyczne. Bo nagle się okazuje, że to, że one ze sobą się sklejają, powoduje bardzo poważne problemy matematyczne.
Słynne twierdzenie Banacha - Tarskiego mówi, że jeśli masz pomarańczę, weźmiesz ostry nóż, pokroisz ją na kawałki, rozsuniesz te kawałki, po czym złożysz z nich tę pomarańczę, to będziesz miał tę pomarańczę, ale jeszcze trochę kawałków ci zostanie i jak je złożysz, to otrzymasz drugą taką samą.
- A Banach z Tarskim pokazali, że możliwe.
[Od redakcji: Zbigniew Semadeni, emerytowany profesor Instytutu Matematyki UW przysłał nam list z komentarzem w tej sprawie, publikujemy go pod rozmową ]
- Słuchaj, ty nie możesz powiedzieć, że to jest niemożliwe, bo ci się nie podoba. Co najwyżej możesz wyrzucić cały kawał matematyki, który do tego doprowadził. Ale jak to zrobisz, to rozpadną ci się światy rzeczy ciągłych i dyskretnych.
- Nie będziesz mógł na przykład korzystać z komputerów.
Cała nasza fizyka opiera się na liczbach rzeczywistych, ale nasze komputery w ogóle ich nie rozumieją, bo one posługują się bitami: 0, 1. A jednak potrafią wyliczyć na przykład trajektorie rakiet balistycznych, które mają nas trafić i cały ten świat rozwalić w cholerę. Czyli po pierwsze, to jakoś działa. A po drugie, jeśli chcemy, żeby to właśnie tak działało, że my tak sobie przechodzimy od tej jednej nieskończoności do drugiej, to musimy też zaakceptować istnienie takich paradoksów jak ten z pomarańczą.
- Jak komputer robi symulację ruchu, to składa go z małych kroków. Bo komputer myśli tylko małymi krokami. Nie ma ciągłości w komputerze. I my liczymy te małe kroki, a potem liczymy na to, że jak te kroki będą naprawdę małe, to nikt, włącznie z wszechświatem, się nie zorientuje, że my nie używamy liczb rzeczywistych, tylko je sobie przybliżamy. Czyli cały czas oszukujemy. Rzecz w tym, że siebie to my możemy oszukiwać, ale fizyka jest brutalna.
- Są takie procesy fizyczne, które mają to do siebie, że w bardzo krótkim czasie mogą dać coś bardzo skomplikowanego. Na przykład wybuchnąć.
A w "Dużym Formacie" co drugi tydzień felietony z cyklu "Badowski Kwaśniewskiemu, czyli z głowy do główki".
List Zbigniewa Semadeni, emerytowanego profesora Instytutu Matematyki UW
Nie da się za pomocą noża (nawet ostrego) podzielić jakieś ciało fizyczne na części i tak poprzestawiać otrzymane części, by otrzymać obiekt o dwukrotnie większej masie. To jest po prostu sprzeczne z kanonem fizyki: z prawem zachowania masy. Banach i Tarski udowodnili coś innego, a mianowicie, że z systemu aksjomatów ZFC (tzn. z systemu Zermelo-Fraenkela z aksjomatem wyboru) wynika możliwość takiego rozłożenia kuli o promieniu 1 na skończoną liczbę podzbiorów, z których po odpowiednich obrotach da się złożyć dwie kule o promieniu 1.
Banach i Tarski wiedzieli jeszcze dwie bardzo ważne rzeczy:
- taki rozkład kuli jest nieefektywny, nie da się tego rozkładu w żaden sposób wyraźnie określić, nie da się też dla konkretnych elementów wyjściowej kuli odpowiedzieć na pytanie, do którego z nowych zbiorów dany element będzie należał po przekształceniu;
- po rozłożeniu te części nie będą miały objętości, nie da się im przypisać żadnej miary będącej uogólnieniem objętości.
Wiadomo też, że jeśli aksjomat wyboru zastąpi się aksjomatem determinacji J. Mycielskiego i H. Steinhausa, to otrzyma się nowy system aksjomatyczny teorii mnogości, w którym można udowodnić wszystkie twierdzenia klasycznej analizy matematycznej i jest to wystarczające do zajmowania się klasyczną fizyką matematyczną, a zarazem w tym systemie można udowodnić, że rozkład kuli zgodny z warunkami Banacha i Tarskiego jest niemożliwy.
Czy istnieje nieskończoność?
Zapytajmy najpierw, jaka jest największa liczba na świecie? Nie ma takiej. Do każdej kandydatki zawsze można dodać 1 i otrzymamy jeszcze większą liczbę. To znaczy, że niezależnie od tego, o jak dużej liczbie sobie pomyślę, zawsze można znaleźć jeszcze większą. Liczby, jak mówią matematycy, "dążą do nieskończoności". Tak rozumianą nieskończoność filozofowie nazywają "potencjalną". Ten proces powiększania liczb nie ma końca i żadnego ograniczenia, ale na każdym kroku mamy do czynienia z jakąś skończoną liczbą (choć może być tak przeogromna, że "nie występuje w przyrodzie", np. jest większa niż liczba wszystkich cząstek elementarnych we Wszechświecie).
Matematycy potrafili jednak wyobrazić sobie coś bardziej abstrakcyjnego - nieskończoność "aktualną", a więc zbiór, który zawiera nieskończoną liczbę elementów, na przykład zbiór wszystkich bez wyjątku liczb naturalnych, czyli 1, 2, 3, 4... itd. W ten sposób powołali nieskończoność do istnienia jako osobny byt, taki jak liczba 1 czy 2, choć jak poniżej zobaczymy, niedokładnie taki sam.
Czy nieskończoność to liczba?
Nic podobnego. Nieskończoność nie jest liczbą, np. nie jest parzysta ani nieparzysta. To pewien koncept, idea. Dość kłopotliwa zresztą. Kilku geniuszy straciło najpierw rozum, a potem życie, próbując rozwikłać paradoksy, które są związane z nieskończonością.
Rachunki na nieskończoności nie przypominają zwykłej arytmetyki. Kiedy do nieskończoności dodamy 1, to w wyniku dostaniemy też... nieskończoność. Ba, gdy do nieskończoności dodamy nieskończoność, to też nic się nie zmieni, tj. wciąż będzie to nieskończoność (dlatego liczb parzystych jest dokładnie tyle samo co wszystkich liczb naturalnych - parzystych i nieparzystych razem wziętych; to zresztą charakterystyczna cecha nieskończoności - jej część może być równa całości).
Nic nie da także mnożenie nieskończoności - kiedy się ją podwoi czy nawet pomnoży przez 1000, to się nie zmieni. Jest nawet gorzej, nieskończoność razy nieskończoność (czyli nieskończoność do kwadratu) to też... nieskończoność. Gdy słynny badacz nieskończoności Georg Cantor udowodnił, że przestrzeń trójwymiarowa ma dokładnie tyle samo punktów co jednowymiarowa, napisał "rozumiem to, ale w to nie wierzę" (a w końcu przeszedł załamanie nerwowe i zmarł w przytułku dla obłąkanych).
Czy nieskończoność można policzyć?
Wydaje się, że to niemożliwe, bo musielibyśmy mieć... nieskończoną ilość czasu, a poza tym nigdy byśmy nie skończyli liczenia. Matematycy mają jednak sprytną metodę, która polega na porównywaniu dwóch zbiorów elementów. Pokażmy to na następującym przykładzie: jak sprawdzić, czy liczba krzeseł w klasie jest równa liczbie uczniów? Można oczywiście policzyć osobno krzesła i uczniów, a potem porównać te liczby ze sobą. Ale jeśli jest ich nieskończenie wiele, to już wiemy, że to się nie uda. Lecz wystarczy kazać uczniom usiąść. Jeśli ani jedno krzesło nie pozostanie puste i ani jeden uczeń nie pozostanie na stojąco, to znaczy, że zbiory uczniów i zbiór krzeseł mają taką samą liczbę elementów.
Matematycy ustalają "równoliczność" zbiór, korzystając z dokładnie tej samej metody, choć oczywiście nazywają wszystko w bardziej wyszukany sposób. Zamiast mówić o "siadaniu na krzesłach", oni "konstruują odwzorowanie". Warunek "na każdym krześle musi usiąść tylko jeden uczeń i żadne krzesło nie może być pominięte" określają słowami "odwzorowanie ma być wzajemnie jednoznaczne". Jeśli uda się w ten sposób odwzorować jakiś zbiór elementów na zbiór wszystkich liczb naturalnych 1, 2, 3..., to znaczy, że liczba jego elementów jest nieskończona. I tak policzyliśmy nieskończoność! Zauważmy, że ta operacja odwzorowania przypomina ustawienie wszystkich elementów w rządek i "ponumerowanie" ich kolejnymi liczbami (tak jakbyśmy chcieli dać im rozkaz: "Kolejno odlicz!").
Czy wszystkie nieskończoności da się policzyć?
Niestety nie. Te nieskończone zbiory, których elementy da się odwzorować na zbiór liczb naturalnych, czyli ustawić w rządek i "ponumerować", matematycy nazywają przeliczalnymi. Mówią fachowo, że ich moc wynosi alef zero. Ale okazuje się, że są takie zbiory, które są bardziej nieskończone niż zbiór liczb naturalnych i nie da się ich przeliczyć. Taki nieprzeliczalny zbiór tworzą liczby rzeczywiste, czyli te, które składają się na całą oś liczbową (są wśród nich nie tylko liczby naturalne i szkolne ułamki, ale także takie dziwolągi jak liczba pi, czy pierwiastek z dwóch).
Georg Cantor ochrzcił tę nieskończoność liczb rzeczywistych, która jest nieprzeliczalna, mianem continuum. A potem wymyślił (skonstruował w myślach) jeszcze inne, bardziej potężne nieskończoności. Nie ma więc jednej nieskończoności, jest ich cała hierarchia. Są nieskończoności mniejsze i większe, a co więcej - okazuje się, jest ich... nieskończenie wiele.
Czy są jakieś ukryte nieskończoności?
Cantor zadał sobie też pytanie, czy pomiędzy dwoma "najmniejszymi" nieskończonościami - liczb naturalnych (alef zero) i liczb rzeczywistych (continuum) mieści się może jakaś pośrednia nieskończoność? Mniejsza od continuum, ale jednak większa niż alef zero. Wydawało mu się, że nie. Ale wszystkie próby udowodnienia tej hipotezy - zwanej hipotezą continuum - zakończyły się kompletnym fiaskiem. Gdy na początku XX wieku David Hilbert, niekwestionowany lider ówczesnej sceny matematycznej, wymieniał listę 23 najważniejszych problemów w matematyce, za najpilniejsze uznał rozstrzygnięcie właśnie hipotezy continuum. Swoje wystąpienie Hilbert zakończył buńczucznym: "Musimy wiedzieć. Będziemy wiedzieć!". Nie miał pojęcia, jak bardzo się mylił.
Po 30 latach austriacki logik Kurt Gödel dowiódł bowiem twierdzenia o niezupełności: wykazał, że w każdym systemie logicznym występują zdania nierozstrzygalne, czyli takie, o których nie da się powiedzieć, czy są prawdziwe czy fałszywe. Jak dowiedziono w latach 60., hipoteza continuum jest... nierozstrzygalna.
PS. A Gödel skończył życie podobnie jak Cantor - pokonała go choroba psychiczna.
Zobacz też: Prawo Benforda. Jedynka jako narzędzie do wykrywania manipulacji
Czytaj w ''Piątku Ekstra'' :
Większe i mniejsze nieskończoności.
Używając komputerów, cały czas liczymy na to, że nikt, włącznie z Wszechświatem, nie zorientuje się, że oszukujemy
Możesz troszczyć się o misie panda, urządzać świat po apokalipsie, bawić się w rolnika, rządzić gangiem motocyklowym albo renesansową Europą. Już co najmniej 200 tysięcy Polaków wkręciło się od nowa w... planszówki
Dlaczego dziadek nocą nie spada z łóżka?
Płytowe nowości tygodnia: Martin Gore, Rasmentalism, Metz i Hoszpital [RECENZJE]
Reportaż Magdaleny Grzebałkowskiej "1945. Wojna i pokój", Sarah Walters niemal jak Virginia Woolf w powieści "Pod osłoną nocy", a dla dzieci książeczka o Tymku, który boi się sam spać
Dzisiejsza gazeta (e-wydanie)
Wszystkie komentarze