Na początku było słowo. Słowo "jeden". Jak utrzymywał Leopold Kronecker, pochodziło ono od Boga. Dodawano słowo do słowa, jedynki do jedynek i tak otrzymywano kolejne liczby naturalne, bo pochodzące z całkiem naturalnej hodowli. Liczby naturalne można było mnożyć i dzielić, a wynik takich działań czasem nie był liczbą naturalną, tylko ułamkiem. W ten sposób menażeria rozszerzyła się, a powstałe stado ochrzczono mianem wymiernych.

Wymierne liczby były łatwe do zmierzenia - jak to liczby, bo cóż innego można powiedzieć o liczbach, jeśli nie to, że dają się wymierzyć? Że dobrze można określić ich rozmiar, wielkość? I wtedy matematyka otrzymała cios w serce - odnaleziono liczby, które wymierzyć się nie dały!

Nie dawały się więc zapisać w postaci ułamka - ani takiego z kreską, ani dziesiętnego, bo po przecinku miały nieskończenie wiele cyfr pojawiających się bez najmniejszego porządku. I o ile "z grubsza" wiadomo było, ile wynoszą, to już "końcówka" liczby, wartości na setnym, tysięcznym czy milionowym miejscu po przecinku skrywała mgła tajemnicy. Jeśli nawet mierzono taką z dokładnością do tysięcznego miejsca po przecinku - tajemnica nie znikała, po prostu przesuwała się dalej.

Pierwszego matematyka, który zauważył liczbowego dziwoląga, zgładzono. W nadziei, że zabierając ze sobą do grobu tajemnicę o niepokojącej niedoskonałości, zabierze wraz z tajemnicą także same liczby niewymierne. Na próżno. Pierwiastek z dwóch istniał i nie było co do tego żadnych wątpliwości. Pozostawało się z tym pogodzić. Kolekcję liczb rozszerzono o niewymierne, z wymiernych i niewymiernych tworząc liczby rzeczywiste. Rzeczywiste? Cóż za dziwaczna nazwa? Czy mogą być liczby nierzeczywiste? Nieprawdziwe?

Owszem. To liczby urojone. Dodano je po to, żeby móc rozwiązywać równania kwadratowe, a z czasem znaleziono dla nich sporo innych zastosowań. Bestiarium matematyki rozrasta się bez końca. Matematycy mówią dziś o liczbach przestępnych i algebraicznych, doskonałych i zaprzyjaźnionych. O liczbach p-adycznych, które wprawdzie mają koniec, ale nie mają początku. Badają liczby rzeczywiste i urojone, taksówkowe, telefoniczne, złote, pierwsze, dualne i podwójne. Niektóre z liczb, tak jak Pi albo Złota Liczba, zrobiły oszałamiającą karierę i na stałe zagościły w kulturze, nie tylko tej matematycznej. Matematycy utrzymują (i mają na to dowody!), że wszystkie liczby są ciekawe i o każdej można opowiedzieć osobną, frapującą historię.

Zero

Czy nic może być czymś? - pytali starożytni Grecy, kwestionując status zera, a przy okazji usiłując dociec tajemnicy istnienia (lub nieistnienia próżni). Owo "nic" jest podstawą istnienia systemów pozycyjnych, czyli takich zapisów liczbowych, do jakich przywykliśmy. Aby wyrazić dowolną wielkość, wystarcza nam tylko kilka cyfr (ludzie używają zwykle cyfr 0,1, 2... 9, komputery i informatycy poprzestają na zerach i jedynkach).

1

Bóg stworzył zero i jedynkę, cała reszta jest dziełem człowieka - powiedział niemiecki matematyk Leopold Kronecker. Od czegoś trzeba było w końcu zacząć. Osobliwością jedynki jest to, że nie jest ona ani liczbą pierwszą (te da się podzielić tylko przez dwie różne liczby), ani złożoną (te daje się podzielić przez więcej niż dwie liczby). Jedynkę można podzielić tylko przez jedną liczbę: właśnie jedynkę!

Mając zero i jeden, daje się - dodając, mnożąc i dzieląc - stworzyć bardzo wiele liczb. Nazywa się je liczbami wymiernymi. Ale liczby wymierne to dalece nie wszystkie możliwe liczby.

Pierwiastek z 2

Liczba, która pomnożona przez siebie samą da w wyniku dwa, nie może być zapisana w postaci ułamka. Takiego zwykłego, z kreską ułamkową. A w postaci ułamka dziesiętnego? Też nie, bo po przecinku trzeba by napisać nieskończenie wiele liczb:

1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 7... i tak dalej. Bez końca.

Legenda głosi, że na trop tego, że pierwiastek z 2 jest niewymierny (niezapisywalny w postaci ułamka), i co gorsza, że istnieje cała masa takich nieprzyzwoitych, niewymiernych liczb, wpadł Hippazos z Metapontu, jeden z pitagorejczyków. Swoją dociekliwość przypłacił życiem, bo jego koledzy nie chcieli, by wstydliwa tajemnica niedoskonałości matematyki kiedykolwiek ujrzała światło dzienne.

Liczb wymiernych i niewymiernych starczyło matematykom zaledwie do XVI wieku, kiedy to dodali sobie jeszcze nową klasę - liczby urojone.

i

Jednostka urojona. Przenosi nas (dosłownie) w nowy wymiar matematyki. Jest pierwiastkiem z -1, co oznacza, że i podniesione do kwadratu (pomnożone samo przez siebie) da w wyniku -1.

Przyzwoite, rzeczywiste liczby podniesione do kwadratu nigdy nie są ujemne.

Łatwo sobie posprawdzać:

2x2 = 4
(-2)x (-2) = 4
0,1 x 0,1 = 0,01
i tak dalej

Natomiast i2 = -1

Po rozszerzeniu liczb o liczby urojone dało się już rozwiązać każde równanie kwadratowe (na przykład takie: x2+1=0). Wkrótce nowe liczby okazały się niezwykle przydatne przy obliczeniach związanych na przykład z prądem zmiennym.

Twórca liczb urojonych Girolamo Cardano został zamordowany podobnie jak odkrywca liczb niewymiernych Hippazos. Z tą różnicą, że Cardano zginął... z własnej ręki. Oprócz matematyki parał się też medycyną, mechaniką i astrologią. Przewidział datę swojej śmierci, a gdy natura nie chciała zastosować się do jego prognoz, popełnił samobójstwo.

0,1100010000000000000000010 Stała Liouville'a

Ułamek zapisany przy użyciu samych zer i jedynek. Jedynki występują wyłącznie na pozycjach o numerach:

1
1x2
1x2x3
1x2x3x4
1x2x3x4x5
i tak dalej

Czyli na miejscu pierwszym, drugim, szóstym, dwudziestym czwartym, sto dwudziestym Coraz rzadziej, w coraz większych odległościach.

Do rankingu "Wyborczej" zgłosił ją, zapytany o ciekawe liczby, profesor Stanisław Lech Woronowicz z Uniwersytetu Warszawskiego, współtwórca teorii grup kwantowych (tu ze wstydem wyznaję, że pozostałych kandydatur zgłoszonych przez prof. Woronowicza nie uda mi się zrozumieć przed oddaniem tego tekstu do druku).

Stała Liouville'a jest liczbą niewymierną (nie da się jej zapisać w postaci klasycznego ułamka, więc ułamek dziesiętny, który ją reprezentuje, musi być nieskończony) i liczbą przestępną (nie mylić z przestępczą!), czyli taką, która nie jest rozwiązaniem żadnego równania (kwadratowego, trzeciego, czwartego czy jakiegokolwiek stopnia) o współczynnikach całkowitych.

Inne sławne liczby przestępne to pi - dzisiejsza jubilatka - oraz e - podstawa logarytmu naturalnego.

Szarlataneria, czyli mniejsze od najmniejszych

Nie powinno dziwić, że matematycy nie poprzestali na liczbach rzeczywistych i urojonych. "Kiedyś interesowałem się zagadnieniami tzw. analizy niestandardowej - mówi zapytany o swoje ulubione liczby prof. Tadeusz Rzeżuchowski z Wydziału Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej. - Chodzi o coś, co na pierwszy rzut oka wygląda dość paradoksalnie. Mianowicie rozważa się tam większy zbiór liczb niż liczby rzeczywiste, ale nie chodzi o liczby urojone. Chodzi o liczby większe od zera, ale mniejsze niż wszystkie powszechnie znane liczby rzeczywiste dodatnie. To są tak zwane nieskończenie małe. Ich odwrotności z kolei to liczby większe niż wszystkie liczby rzeczywiste dodatnie. Wielcy pionierzy rachunku różniczkowego i całkowego mieli intuicję nieskończenie małych i posługiwali się nimi, tylko że było to traktowane trochę jak szarlataneria".

1,6180339887

Złota liczba. Wskaźnik piękna. Proporcja idealna.

Podział odcinka na dwie części a i b w ten sposób, żeby stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam jak stosunek długości całego odcinka do części dłuższej, uznany był za podział idealny, boski, złoty.

Fot.

(a+b)/a=a/b= 1,6180339887

W starożytności złotej proporcji przypisywano wyjątkowe własności estetyczne. Odnaleźć ją można w wielu konstrukcjach - np. przekątne pięciokąta foremnego dzielą się w złotej proporcji, złote są również stosunki odcinków brzegowych pentagramu.

Pi

Stosunek obwodu koła do jego średnicy. Liczba przestępna, mająca nieskończenie długie i całkowicie nieregularne rozwinięcie dziesiętne. Dziś znamy ją z dokładnością do... bilionów liczb po przecinku. Gdyby chcieć zapisać ją w książce, na kolejne tomy tej książki potrzeba by półek o długości blisko 100 km. Zazwyczaj korzystamy z przybliżenia, w którym pi utożsamiamy z 3,14 (dlatego też 14 marca obchodzimy Dzień Pi). Pi wydaje się tak uniwersalnym bytem matematycznym, że... nadawana była w kosmicznym przesłaniu radiowym adresowanym do inteligencji pozaziemskich. W końcu muszą znać koło!

Program na stronie http://www.facade.com/legacy/amiinpi/ sprawdza, na którym miejscu po przecinku w dziesiętnym rozwinięciu pi znajdziesz swoją datę urodzenia czy dowolną inną ośmiocyfrową sekwencję.

13

Pytana o swoją ulubioną liczbę dr Barbara Lech z Wydziału Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej nie może się zdecydować między liczbami doskonałymi (doskonałość pociąga!), liczbami zaprzyjaźnionymi (przyjaźń jest cenna); liczbą Fidiasz - matematycznym wzorcem piękna, liczbami Mersena z uwagi na ich majestat i tajemnicę, jaka je otacza, liczbami Fibonaciego - mnożącymi się jak króliki - i liczbami Carmichaela - oszustami doskonałymi. W końcu jej wybór pada na liczbę 13.

- Czy to przez przekorę? - pytam.

- Z matematycznego punktu widzenia 13 należy do liczb szczęśliwych. Mało kto o tym wie, jeszcze mniej osób słyszało o polskim wątku liczb szczęśliwych - zostały one wprowadzone przez Stanisława Ulama w roku 1950, gdy był on szefem wydziału matematyki w laboratorium w Los Alamos. Same liczby szczęśliwe są bardzo podobne do liczb pierwszych. Stanisław Ulam urodził się 13 kwietnia, a umarł 13 maja. Żył 75 lat - 75 to również szczęśliwa liczba.

Wszystkich, którzy złaknieni są opowieści o liczbach, dr Barbara Lech odsyła na Archipelag Matematyki (archipelagmatematyki.pl ), gdzie pośród niezliczonych wysp jest jedna poświęcona teorii liczb.

42

Odpowiedź na pytanie o życie, Wszechświat i całą resztę, sens życia. Jest podstawową stałą we Wszechświecie, tak samo jak prędkość światła w próżni i stała Planck'a! Po 7,5 mln lat obliczeń podał ją superkomputer Głęboka Myśl, niestety, nie precyzując, co dokładnie ma na myśli (czytaj: Autostopem przez Galaktykę Douglasa Adamsa).

Na dodatek 42 jest
- liczbą praktyczną (matematycy uważają liczbę za praktyczną, jeśli wszystkie liczby mniejsze od niej można zapisać jako sumę jej dzielników, np. 41= 41=21+14+3+2+1),
- liczbą Harshad (dzieli się przez sumę swoich cyfr 4+2)
a pięć kolejnych cyfr w rozwinięciu dziesiętnym pi, licząc od miejsca 242422 po przecinku, to 42424

69

Ulubiona liczba pewnego współczesnego polskiego matematyka. Gdy poprosiłam o uzasadnienie, najpierw się zaczerwienił, potem pokrętnie powiedział, że 69=6x9+6+9, a w końcu zażądał utajnienia tej informacji, jak również wszelkich jego danych osobowych. Może dlatego, że zawodowo zajmuje się kryptografią?

666

suma kwadratów siedmiu kolejnych liczb pierwszych: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.

A zarazem - jak zauważa dr Jarosław Wróblewski z Wydziału Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Wrocławskiego (matematyk urodzony w roku 987+654+321) - suma liczb od 1 do 6x6!

1729

Najsławniejszy numer taksówki na świecie. Godfrey Harold Hardy, matematyk angielski, profesor uniwersytetu w Cambridge specjalizujący się w teorii liczb, za swoje największe odkrycie uważał... swego ucznia, hinduskiego matematyka Srinivasa Ramanujana. W czasie pobytu w Anglii Ramanujan zachorował na gruźlicę. Hardy odwiedzał go w szpitalu. Pewnego dnia, nie wiedząc, jak rozpocząć rozmowę, rzucił od progu:

- Przyjechałem tu taksówką numer 1729. To beznadziejnie nieciekawa liczba - mam nadzieję, że nie uznasz tego za zły omen?

Skądże znowu - zaprotestował Ramanujan. Przede wszystkim 1729 jest ogromnie ciekawa, bo jest to najmniejsza liczba, którą można zapisać jako sumę dwóch dodatnich sześcianów (liczb w trzecich potęgach) na dokładnie dwa różne sposoby:

1729 = 13+123 = 93+103

Najmniejsze liczby, które da się przedstawić jako sumę dwóch sześcianów na n różnych sposobów nazywane są dziś - na pamiątkę tego wydarzenia liczbami taksówkowymi. Pierwszą liczbą taksówkową jest dwa 2=13+13, drugą 1729, trzecią, znalezioną dopiero w 1957 roku, 87539319. Taksówkową czwartą - w 1991, piątą trzy lata później. Szóstą komputery wskazały koło roku 2008, ale... nie ma pewności, że jest właściwa.

Tym, którzy nawet w matematyce muszą znaleźć jakieś zastosowania, donoszę uprzejmie, że liczby taksówkowe przydają się przy kompresji danych.

43252003274489856000

Liczba kombinacji początkowych ułożeń kostki Rubika.

357686312646216567629137

Liczba pierwsza. Jeśli napiszecie ją na tablicy i zetrzecie dowolną liczbę cyfr z przodu, "ogonek" który zostanie również będzie liczbą pierwszą.

googol 10 do potęgi 100

Czyli jedynka i sto zer. To naprawdę bardzo dużo. Czy taka liczba może wyrażać "coś prawdziwego"? Na pewno nie liczbę materialnych obiektów - gdyby ponumerować wszystkie atomy we Wszechświecie, doszlibyśmy "zaledwie" do 1080. Takie duże liczby wyrażają zwykle liczbę kombinacji, czyli mówią, na ile sposobów można zrealizować pewne scenariusze (jest ich tak dużo, bo jak wiadomo, życie pełne jest niespodzianek i niepewności).

Ale nawet taką ogromną liczbę można... postawić sobie na biurku. Francuski poeta Raymond Queneau wydał "tomik"- sto tysięcy miliardów wierszy. Faktycznie tyle ich tam jest - tomik zawiera dziesięć sonetów, każdy na kartce pociętej na 14 poziomych pasków zawierających pojedyncze wersy. Książkę można więc czytać, wybierając w każdej linijce jeden z dziesięciu wariantów wersu - na 1014 sposobów.

Zakładając, że na ułożenie zestawu pasków i odczytanie jednego sonetu przeznaczymy minutę, przeczytanie wszystkich kombinacji zajęłoby 200 mln lat (gdyby oddawać się lekturze 24 godziny na dobę, bez przerw na seks, sen i jedzenie).

Każda liczba jest ciekawa!

A co z resztą liczb? Czy wszystkie pozostałe są nieciekawe lub co najmniej mniej ciekawe? Wręcz przeciwnie. Ciekawe i niezwykłe są wszystkie. Dowód? Proszę bardzo: wyobraźmy sobie, że są jakieś liczby "bez właściwości", niczym się niewyróżniające. Wtedy już najmniejsza z nich jest niezwykle ciekawa: przecież jest najmniejszą możliwą nieinteresującą liczbą!

W tym numerze "Piątku Ekstra"między innymi:

Jacek Szczerba o filmie ''Witaj w klubie'' A Katarzyna Wężyk o karierze Matthew McConaughey'a
Bóg jest w modzie w Hollywood. W tym roku do kin w USA wejdzie aż 16 filmów opartych na motywach biblijnych lub związanych z wiarą.
Cała Polska się dziara. Kiedyś kojarzone z kryminalistami bądź artystami. Dziś noszą je biznesmeni, pracownicy korporacji, politycy
Jak równanie E=mc2 stało się celebrytą?
Matematyczni analfabeci Każdy może zrozumieć matematykę!
Pisarska lista płac, . czyli ile zarabiają pisarze i w jaki sposób