Polska szkoła matematyczna kojarzona jest głównie z Lwowem i Warszawą. Należy jednak pamiętać, że Polskie Towarzystwo Matematyczne powstało w Krakowie.

Lwów ze słynną kawiarnią Szkocką był prawdziwą bohemą matematyczną, gdzie rozwinięto analizę funkcjonalną. Specjalnością warszawskiej szkoły matematycznej była geometria i wyrosła z niej topologia. Wilno specjalizowało się w analizie harmonicznej, a o Poznaniu niewiele było wiadomo, bo tu zajmowano się problemami ściśle tajnymi (to tutejsi matematycy złamali Enigmę za pomocą teorii permutacji).

Natomiast Kraków zajął się najpraktyczniejszą stroną matematyki - równaniami różniczkowymi. O ile Lwów i Warszawa dostarczały głównie matematycznych narzędzi, o tyle w Krakowie powstawały gotowe rozwiązania. Najróżniejszych praktycznych problemów.

Równania różniczkowe są bowiem jednym z podstawowych sposobów stosowanych przez fizyków do opisywania świata. Nawet najprostsze wzory fizyczne, te, których uczymy się w szkole - opisujące prędkość, położenie i przyspieszenie obiektów w zależności od czasu - mają korzenie w równaniach różniczkowych. Równania opisujące ruch planet, drganie struny, przepływ cieczy, rozchodzenie się ciepła czy zjawiska kwantowe są równaniami różniczkowymi.

Gdy fizyk zaczyna tworzyć model matematyczny jakiegoś zjawiska, to prawie na pewno będzie musiał się mierzyć z równaniem różniczkowym.

A wtedy matematycy suflują mu, co, kiedy i jak można i da się rozwiązać.

Francuzów zachwycił, a potem opuścił

Jedną z najznamienitszych postaci krakowskiej szkoły matematycznej był Stanisław Zaremba. Urodził się na Ukrainie w 1863 r., gdy Polski nie było. Jego ojciec - inżynier - wysłał go najpierw do szkoły średniej, a potem na studia do Petersburga, gdzie w 1886 r. Zaremba zdobył tytuł inżyniera. Doktorat obronił już trzy tata później na paryskiej Sorbonie. Zdobył szacunek francuskich profesorów (m.in. Jeana Darboux), którzy zwykli byli traktować zagranicznych studentów z pewnym pobłażaniem. Zaremba nie musiał korzystać z taryfy ulgowej.

Potem przez 11 lat uczył matematyki w szkołach średnich we Francji (zaskakujące, ile sław matematycznych ma na koncie nauczanie w szkołach średnich). W tym czasie opublikował wiele prac naukowych, dzięki którym zdobył renomę we francuskim świecie matematycznym - jego wyniki doceniali m.in. genialny Henri Poincaré i Jacques Hadamard.

Był wiek XIX i żyli jeszcze ludzie, którzy byli w stanie ogarnąć całą współczesną sobie wiedzę matematyczną, a metody matematyczne stosowano głównie do rozwiązywania problemów inżynierskich. Doktorat Zaremby poświęcony był przepływowi ciepła w ciałach homogenicznych. Topologia dopiero powstawała, analizy funkcjonalnej jeszcze nie było (Banach urodził się trzy lata po obronieniu przez Zarembę doktoratu).

Zaremba bez trudu mógł robić karierę we Francji, wówczas jednej z największych potęg matematycznych na świecie, ale mimo to wrócił do kraju - w 1900 roku przyjął szefowanie katedrze matematyki na Uniwersytecie Jagiellońskim.

Przykładał ogromną wagę do nauczania matematyki w Polsce, m.in. pisał podręczniki w języku polskim, a  dzięki swoim kontaktom we Francji zapraszał na wykłady do Krakowa największe sławy matematyczne. To z pewnością przyczyniło się do wciągnięcia Uniwersytetu Jagielońskiego na szerokie wody świata naukowego.

Równanie różniczkowe. Co to takiego?

W swoich badaniach Zaremba zajmował się głównie równaniami różniczkowymi, które opisują związki wartości funkcji i sposobu zmienności tejże funkcji, co mierzy się tzw. pochodną. Dobrym przykładem jest rozchodzenie się ciepła w ciałach - było to tematem doktoratu matematyka. Wartością dobrze charakteryzującą przepływ ciepła jest temperatura w danym miejscu i danej chwili, ale prędkość przepływu ciepła zależy od różnicy temperatur, czyli od zmiennej zwanej gradientem temperatury. Charakteryzuje on liczbowo, jak mocno w danym punkcie zmienia się temperatura. Im większy gradient, tym większa zmienność. Innym przykładem gradientu jest stromizna. Zbocza Kasprowego Wierchu mają wysoki gradient, boiska piłkarskie - zerowy albo bardzo mały.

Z matematycznego punktu widzenia gradient funkcji to jej pierwsza pochodna, czyli różniczka - pojęcie, z którym spotykamy się w szkole średniej.

Już samo badanie, czy da się wyznaczyć pochodną funkcji, może stanowić ciekawe zagadnienie, ale znacznie ważniejszym problemem jest to, czy da się znaleźć funkcję, dla której zachodzi konkretna zależność między nią samą i jej pochodnymi opisana równaniem. Takie równanie wiążące funkcję i jej pochodne nazywamy równaniem różniczkowym, a gdy funkcja ma kilka zmiennych (na przykład czas i miejsce), to mówimy o równaniu różniczkowym cząstkowym.

Zakaz wjazdu dla matematyków

Te ostatnie równania były specjalnością Zaremby. Przy tym nie skupiał się on na poszukiwaniu funkcji, czyli rozwiązań tych równań - to zadanie pozostawiał inżynierom i fizykom. Dla niego znacznie ważniejsze było pytanie, czy dana klasa równań ma w ogóle rozwiązania, a jeśli tak, to czy rozwiązania są jednoznaczne albo jak wiele jest rozwiązań.

Jedno z osiągnięć Zaremby wiąże się problemem Dirichleta, czyli znalezieniem funkcji, która byłaby rozwiązaniem równania w pewnym obszarze i jednocześnie przyjmowała określone wartości na brzegu tego obszaru. Zaremba podał pierwszy przykład obszaru, w którym ten problem nie ma rozwiązania. To, jak twierdzą matematycy, wyznaczyło kierunek badań nad równaniami różniczkowymi cząstkowymi.

Obrazowo rzecz ujmując, Zaremba postawił dla nich znak zakazu wjazdu - tam nie warto się zapuszczać, ta uliczka nigdzie nie prowadzi.

Istnieje czy nie istnieje? Oto jest pytanie

Prace Zaremby, który zmarł w 1942 roku, kontynuował Tadeusz Ważewski. Pierwotnie studiował fizykę, ale Zaremba przeciągnął go na matematyczną stronę mocy. Jego praca doktorska (na Uniwersytecie Paryskim) dotyczyła topologii, lecz później Ważewski skupił się na analizie matematycznej, a w szczególności na równaniach różniczkowych.

Dzięki znajomości topologii potrafił w oryginalny sposób dowodzić istnienia rozwiązań równań cząstkowych. Po wojnie został kierownikiem Katedry Analizy Matematycznej UJ.

Wydawałoby się, że dowodzenie istnienia bądź nieistnienia rozwiązań równań bez wskazywania konkretnego równania czy szukania konkretnego rozwiązania jest bezużytecznym zatrzymaniem się w pół drogi. Ale to tylko pozór, bo wiedza na temat tego, czy istnieje rozwiązanie i czy jest jedyne, jest fundamentalna z praktycznego punktu widzenia. Nawet jeśli nie jesteśmy w stanie znaleźć rozwiązania wprost, to możemy wtedy próbować przybliżać konkretny wynik (choćby za pomocą komputera i analiz numerycznych).

Słowem, jeśli wiemy, że istnieje rozwiązanie zadania, to wiemy, że warto szukać. A jeśli wiemy, że istnieje kilka rozwiązań, to możemy wybierać to, które ma sensowną interpretację fizyczną.

Równania jak chusteczki do nosa

Ważewski sformułował tzw. twierdzenie retraktowe, bardzo pomocne przy badaniu, czy dane równanie ma rozwiązanie. Jego ideę można zilustrować za pomocą pudełka na chusteczki do nosa, w którym jest kilka otworów do ich wyciągania. Nie da się jednej chusteczki wyciągnąć przez obydwa otwory naraz bez jej rozerwania (utraty ciągłości funkcji). Jeśli więc wyciągniemy chusteczkę przez dwa różne otwory, to znaczy, że są to różne chusteczki (rozwiązania).

Ta idea zastosowana do równań różniczkowych pozwala wykryć, w jakich przypadkach nie istnieje rozwiązanie (tj. nie ma szans na wyciągnięcie chusteczki bez jej rozerwania) albo czy rozwiązanie nie jest jednoznaczne (tj. mamy do czynienia z różnymi chusteczkami). Jednym słowem, badając topologiczne własności brzegu pudełka (liczba otworów), możemy wyciągnąć wnioski na temat własności funkcji we wnętrzu pudełka albo liczby różnych rozwiązań (chusteczek).

Metoda Ważewskiego badania brzegu zbiorów znalazła ważne miejsce w teorii równań różniczkowych. Swoją drogą ciekawe, jak zagraniczni matematycy radzą sobie z tak bardzo polskim nazwiskiem. Faktem jest, że w cytowaniach starają się jednak używać literki "ż".