Bo bez sinusów i cosinusów nie byłoby tzw. szeregów Fouriera wykorzystywanych dzisiaj w telekomunikacji, cyfrowym przetwarzaniu sygnałów (w tym obrazów), a nawet do przechowywania danych.

Francuski matematyk Jean Baptiste Joseph Fourier na początku XIX wieku pokazał, że funkcję okresową (spełniającą określone warunki, m.in. ograniczoną) można przedstawić w postaci sumy (tj. szeregu) sinusów i cosinusów z odpowiednimi współczynnikami. Podał przepis, jak to zrobić, tj. jak obliczać współczynniki w tym szeregu.  

Sposób przekształcania funkcji na taki szereg zwany jest transformacją Fouriera, a sam szereg - transformatą Fouriera. Czasami taka suma jest nieskończona, czasami szereg ma tylko kilka wyrazów.

Matematyczna sokowirówka

Badanie tego przekształcenia zwane jest analizą harmoniczną i stanowi ogromny dział matematyki. A jednym z pionierów tej dziedziny jest Antoni Zygmund, polski matematyk, który od 1940 r. pracował w USA i był nauczycielem i mentorem wielu sław analizy harmonicznej, m.in. Józefa Marcinkiewicza, Alberta Calderóna, Leonarda Berkovitza, Eliasa Steina czy Paula Cohena.

Był też jednym z twórców chicagowskiej szkoły analizy, która wykorzystywała analizę fourierowską do rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych. A takie równania mają wielkie znaczenie praktyczne - pojawiają się w niezliczonych zagadnieniach z zakresu fizyki, chemii, biologii czy inżynierii. 

Na analizę harmoniczną można patrzeć jak na rozkładanie funkcji na czynniki pierwsze, dzięki czemu można łatwiej badać ich własności i wykorzystywać je do różnych celów.

Można to porównać do maszynki, do której wlewamy sok, a ona go analizuje i na wyświetlaczu podaje informację o jego składzie (np. 80 proc. skoku jabłkowego 10 proc. soku z aronii, 10 proc. soku porzeczkowego). Transformacją Fouriera w tym przypadku jest działanie maszynki, a transformatą - skład soku. Transformata jest wygodna, bo jeśli np. chcemy komuś podarować sok, to wystarczy mu przesłać skład (transformatę), a on na tej podstawie łatwo może sobie odtworzyć gotowy napój (jak powie matematyk: musi zastosować odwrotną transformację Fouriera).

Jedną funkcji okresowych, które można poddać transformacji fourierowskiej, a z którą mamy do czynienia na co dzień, jest dźwięk. Transformacja oznacza w tym wypadku rozłożenie dźwięku na sumę fal o określonych częstotliwościach. Gdy znamy wszystkie składowe dźwięku, możemy go odtworzyć (dzięki temu możemy słuchać płyt CD), a także poddać bardzo skutecznej kompresji poprzez odrzucenie zbędnych składowych (technika ta stosowana jest w plikach MP3).

Co więcej analiza fourierowskich składowych dźwięku pozwala wykryć, czy jest on pochodzenia naturalnego, czy maszynowego, a w szczególności, czy generowany jest np. przez obroty śruby okrętowej. Sonary wojskowe nie tylko oddzielają dźwięki naturalne od sztucznych, ale także dzięki analizie harmonicznej są w stanie stworzyć katalog dźwięków charakterystycznych dla rodzaju jednostki wojskowej (np. łódź klasy Akuła), a nawet dla konkretnej jednostki (np. TK-12 Simbirsk), bo dźwięk wydawany przez śrubę jest jak odcisk palca. 

Innym zastosowaniem analizy harmonicznej jest przetwarzanie obrazów. Każde zdjęcie kotka, które robimy telefonem komórkowym, zapisywane jest na karcie pamięci w formacie JPG. To format pozwalający usunąć z cyfrowego obrazu te dane, które dla oka ludzkiego są nieistotne, zawierający tylko najważniejszą część informacji. W konsekwencji zdjęcie zajmuje nawet 20 razy mniej miejsca niż pierwotny obraz, choć nie jesteśmy w stanie dostrzec różnic. Algorytm JPG wykorzystuje do kompresji właśnie szeregi trygonometryczne - te same, które są z powodzeniem stosowane do kompresji innych sygnałów cyfrowych, np. dźwięku.

Nie trzeba więc czekać na to, kiedy przydadzą się sinusy i cosinusy - one od dawna są potrzebne każdemu z nas.

Internetowy memInternetowy mem FB

Zaczęło się w Wilnie

Antoni Zygmund urodził się w 25 grudnia 1900 r. w Warszawie, która była wówczas częścią zaboru rosyjskiego. W pierwszym roku po odzyskaniu niepodległości rozpoczął studia matematyki na Uniwersytecie Warszawskim. Uczył się od najznamienitszych matematyków warszawskiej szkoły matematycznej: Janiszewskiego, Mazurkiewicza, Sierpińskiego, Dicksteina.

Tam też poznał ledwie trzy lata starszego Aleksandra Rajchmana, który wprowadził go w świat szeregów trygonometrycznych. W 1923 r. obronił doktorat pod jego kierunkiem (choć oficjalnie promotorem był Mazurkiewicz, bo Rajchman był zbyt młody na prowadzenie doktorantów). Po doktoracie kilka lat pracował na Politechnice Warszawskiej, a w 1930 r. opuścił Warszawę i objął katedrę matematyki na Uniwersytecie Stefana Batorego w Wilnie.

Tam poznał młodego matematyka Józefa Marcinkiewicza, z którym aż do wojny tworzył bardzo twórczy i płodny tandem.

Historycy matematyki nie mają wątpliwości, że Marcinkiewicz był geniuszem. Już na drugim roku studiów rozpoczął badania szeregów trygonometrycznych, a także interpolacji wielomianowej. Do roku 1939 opublikował 50 prac, mniej więcej jedną co dwa miesiące. Do kanonów analizy matematycznej weszło twierdzenie interpolacyjne Marcinkiewicza, a także pojęcie przestrzeni Marcinkiewicza.

Zygmund opowiadał, że Marcinkiewicz prześcignął go w niektórych działach jego własnej specjalności i z ucznia szybko stał się nauczycielem. Niestety, wojna ich na zawsze rozdzieliła. Marcinkiewicz został uwięziony w Starobielsku jako jeden z wielu polskich oficerów i rozstrzelany przez NKWD. Zygmundowi udało się uciec z rodziną do USA.

Gdyby nie wojna, Marcinkiewicz mógł zostać jednym z najwybitniejszych współczesnych matematyków, a jego wczesna śmierć była prawdopodobnie najcięższą indywidualną stratą w czasie II wojny światowej - twierdził wiele lat później Antoni Zygmund.

Po emigracji do Stanów Zjednoczonych najpierw podjął pracę na MIT w Cambridge, a później na Mount Holyoke College. Małe i ciche miasteczko pozwoliło odpocząć całej rodzinie od wojennego stresu.

Polsko-argentyński tandem w Chicago

W 1947 r. Zygmund przeniósł się na Uniwersytet Chicago, gdzie pracował aż do 1980 r. Znowu w tandemie - z młodym matematykiem Albertem Calderónem, którego poznał w 1948 r. w Argentynie. Ściągnął go do Chicago, czuwał nad jego doktoratem, a później przez wiele lat razem z nim badał równania różniczkowe cząstkowe.

Rozwiązanie tych równań często jest bardzo trudne, ale zastosowanie analizy harmonicznej pozwala uprościć proces i uzyskać wyniki przybliżone, które są wystarczająco dobre, choćby na potrzeby symulacji komputerowych.

Dzięki temu inżynierowie mogli prowadzić skomplikowane symulacje przepływu powietrza wokół skrzydła samolotu czy rozkładu ciepła na łopatkach turbin silników odrzutowych. Analiza harmoniczna pozwalała często na dwudziestokrotne przyspieszenie obliczeń, co jest o tyle ważne, że często lepiej mieć wyniki po kilku dniach, a nie po miesiącu.

Zygmund z Calderónem założyli i prowadzili na Uniwersytecie Chicago słynny ośrodek zajmujący się badaniami nad analizą harmoniczną (Chicago School of Hard Analysis).

W 1959 r. Zygmund został członkiem PAN, w 1961 r. - członkiem amerykańskiej National Academy of Sciences, a w 1972 r. do swojego grona przyjęło go Polskie Towarzystwo Matematyczne. W 1986 r. prezydent Reagan uhonorował go medalem National Medal of Science za „ogromny wkład w analizę fourierowską i jej zastosowania do równań różniczkowych cząstkowych i innych dziedzin analizy, a także za stworzenie i prowadzenie najmocniejszej szkoły badań analitycznych we współczesnym świecie matematycznym”. Zmarł 30 maja 1992 r. w Chicago.

Bez jego badań współczesny świat na pewno wyglądałby inaczej. Współczesna analiza harmoniczna odkrywa coraz to nowe zastosowania dla transformacji i transformat Fouriera i naprawdę trudno zliczyć jej zastosowania. To chyba najbliższy życiu dział matematyki, który rozwiązuje metodami matematycznymi wszelkie problemy, z jakimi borykają się inżynierowie. Matematyk, który planuje karierę w analizie harmonicznej, z pewnością będzie miał pełne ręce (ciekawej) roboty.

Korzystałem z: Józef Marcinkiewicz, CollectedPapers, w redakcji A. Zygmunda, PWN Warszawa 1964, 1–33

Uwaga, konkurs! Wielcy polscy matematycy znani i nieznani. Pula nagród - 130 tys. zł