W przedmowie do swojej listy "zdumiewających twierdzeń" dr Amit pisze, że nic nie wskazuje na to, aby te twierdzenia były prawdziwe. Ba, większość matematyków sądzi, że są one fałszywe.

Ale z drugiej strony nikt jeszcze nie udowodnił ich fałszu, więc mogą okazać się prawdziwe.

Jeśli ktoś ma pomysł, jak je udowodnić (a może już to zrobił) - to nie tylko zadziwi matematyków, ale także zyska sławę i duże pieniądze. 

A oto te twierdzenia, od najmniej do najbardziej zdumiewającego (według dr. Amita):

1. Poniższa liczba jest liczbą pierwszą (tj. podzielną bez reszty tylko przez 1 i samą siebie):

Czy ta liczba jest liczbą pierwszą?Czy ta liczba jest liczbą pierwszą? dr Alon Amit

Każdą złożoną liczbę naturalną da się rozłożyć na czynniki pierwsze, czyli zapisać ją jako iloczyn liczb pierwszych. Jak z tego widać, są to liczby podstawowe, niczym cząstki elementarne w fizyce. Ich samych nie da się już tak rozłożyć - liczba pierwsza dzieli się bez reszty tylko przez 1 i samą siebie.

Nie znamy żadnego wzoru, który by wyliczał kolejne liczby pierwsze. Znajduje się je po prostu metodą mozolnego sprawdzania, czy liczba się dzieli przez jakąś liczbę mniejszą od niej. W ten sposób znaleziono i skatalogowano już miliardy liczb pierwszych.

Największą dziś znaną jest 2 do potęgi 77232917 minus 1, znaleziona w lipcu tego roku, która w zapisie dziesiętnym ma aż 23 mln 249 tys. 425 cyfr. Liczby o takiej postaci (potęga dwójki minus 1) nazywane są liczbami Mersenne'a.

Natomiast liczba, którą wypisał dr Amit, to jedna z tzw. liczb Fermata (tego samego, który sformułował "wielkie twierdzenie Fermata" i na marginesie książki zanotował "znalazłem zaiste zadziwiający dowód tego twierdzenia; niestety, margines jest zbyt mały, by go pomieścić"). Mają one postać: 2^(2^n) + 1 (czyli 2 do potęgi 2 do potęgi n plus 1). Pierwsze pięć liczb Fermata (dla n od 0 do 4) to liczby pierwsze i nie wiadomo, czy jest ich więcej, a w szczególności, czy liczba Fermata dla n=163 jest liczbą pierwszą (wiadomo na pewno, że wszystkie liczby Fermata od n=5 do n=32 są złożone).

PRZECZYTAJ TEŻ: Od zera do googola. Bestiarium matematyczne

2. Jedna z liczb większych niż 1 występuje w Trójkącie Pascala miliard razy.

Trójkąt Pascala to trójkątna nieskończona tablica liczb, której początek wygląda tak jak na poniższym rysunku. Na bokach trójkąta znajdują się liczby 1, każda z pozostałych liczb powstaje jako suma dwóch liczb bezpośrednio znajdujących się nad nią.

Poniżej pierwsze 11 rzędów Trójkąta Pascala:

Trójkąt PascalaTrójkąt Pascala (pierwsze 11 rzędów)

3. Istnieje prostopadłościan idealny, czyli takie "pudełko", w którym długości wszystkich krawędzi, przekątnych ściennych i wewnętrznych są liczbami naturalnymi.

Liczby naturalne to 1, 2, 3, 4 etc. Taki prostopadłościan idealny byłby przestrzennym odpowiednikiem trójkątów pitagorejskich, czyli trójkątów, których długości wszystkich trzech boków są liczbami naturalnymi (np. taki trójkąt tworzą boki o długości 3, 4, 5). Nikt nie wie jednak, czy taki twór istnieje.

Udowodniono tylko, że najkrótsza z krawędzi takiego prostopadłościanu musi być równa co najmniej 4294967296.

4. P=NP

To twierdzenie należy do siedmiu największych nierozwiązanych problemów matematyki, które ułożył Matematyczny Instytut Claya na początku tego wieku, obiecując po milionie dolarów za ich pokonanie.

Litera P w tej równości oznacza typowe problemy, które można dziś praktycznie rozwiązać za pomocą komputerów (tj. istnieje algorytm, którego złożoność obliczeniowa nie rośnie wykładniczo). Z kolei NP to problemy, które mają tę własność, że gdy pokażemy maszynie gotowe rozwiązanie, to ona potrafi sprawdzić, czy to rozwiązanie właściwe (tj. istnieje praktyczny algorytm takiego sprawdzenia).

Matematycy podejrzewają, że zbiór problemów P nie jest tożsamy z NP, ale nikt jeszcze tego nie udowodnił.

Jeśli jednak P=NP, to świat zatrzęsie się w posadach. Bo to by oznaczało m.in., że używane przez nas na co dzień systemy kryptograficzne (np. do szyfrowania poczty, transakcji bankowych etc.) nie są bezpieczne - mogą zostać łatwo złamane.

PRZECZYTAJ TEŻ: Jak zarobić milion dolarów, czyli potęga algorytmu. Wojciech Orliński wyjaśnia problem P i NP

5. Istnieją zespolone miejsca zerowe funkcji dzeta Riemanna, które nie leżą na tzw. prostej krytycznej, a ich część rzeczywista jest większa niż 1/2.

Gdyby to było prawdą, zostałaby obalona słynna hipoteza Riemanna sprzed 160 lat (która utrzymuje, że funkcja dzeta Riemanna nie ma takich zer).

W ostatni poniedziałek brytyjski matematyk sir Michael Atiyah przedstawił szkic  dowodu hipotezy Riemanna na  wykładzie w Heidelbergu. Ale wielu matematyków jest sceptycznych - wątpią, czy słynnemu i renomowanemu matematykowi rzeczywiście udało się udowodnić tę hipotezę. Czekają na publikację pełnego dowodu. Problem więc na razie jest otwarty.

PRZECZYTAJ TEŻ: Genialny matematyk twierdzi, że znalazł "prosty dowód" hipotezy Riemanna. To byłoby matematyczne osiągnięcie stulecia

6. Poniższa liczba jest wymierna (tj. da się ją przedstawić w postaci ułamka zwykłego):

Czy ta liczba jest wymierna?Czy ta liczba jest wymierna? dr Alon Amit

Zarówno liczba e (tzw. liczba Eulera, podstawa logarytmu naturalnego, w przybliżeniu równa 2,72), jak i liczba pi (stosunek obwodu koła do jego średnicy, w przybliżeniu 3,14) są niewymierne. Ich rozwinięcie dziesiętne jest nieokresowe i ma nieskończoną liczbę cyfr po przecinku.

Byłoby zdumiewające, gdyby ich suma okazała się ułamkiem zwykłym. Nikt jednak jeszcze nie dowiódł, że jest inaczej.

PRZECZYTAJ TEŻ: Dzień Liczby Pi. Dlaczego pi jest tak ważna? Zdziwicie się - wcale nie chodzi o obwód i średnicę

7. Najkrótszy ciąg bitów, który nigdy nie występuje w binarnym rozwinięciu pierwiastka kwadratowego z liczby 2, liczy 2304000 bitów i ułożony w tablicę 1920×1200 pokazuje cytat z Becketta, jak poniżej:

To cytat z 'Czekając na Godota'To cytat z 'Czekając na Godota' Samuela Becketta

Pierwiastek z 2 jest liczbą niewymierną, podobnie jak e czy pi. To prawdopodobnie pierwsza znana liczba niewymierna. Legenda głosi, że na trop tego, że pierwiastek z 2 jest niewymierny (niezapisywalny w postaci ułamka) i, co gorsza, że istnieje cała masa takich nieprzyzwoitych, niewymiernych liczb, wpadł Hippazos z Metapontu, jeden z pitagorejczyków. Swoją dociekliwość przypłacił życiem, bo jego koledzy nie chcieli, by wstydliwa tajemnica niedoskonałości matematyki kiedykolwiek ujrzała światło dzienne.

Jak widać, do dzisiaj nie wszystkie tajemnice zostały pierwiastkowi kwadratowemu z 2 wydarte. W szczególności nie wiadomo, czy w jego rozwinięciu binarnym nie jest w ten sposób zakodowany fragment dramatu "Czekając na Godota" Samuela Becketta, co rzeczywiście - trzeba przyznać rację dr. Amitowi - byłoby raczej zdumiewające.