OLGA WOŹNIAK: Kluczowy moment dla uczenia matematyki w szkole. Gdzie by pan go szukał? Podstawówka, gimnazjum?

Marcin Karpiński: Są takie działy matematyki, które rozpoczynają się w gimnazjum: początki myślenia statystycznego, probabilistycznego. Ale najważniejsze dzieje się w klasach I-III, potem jeszcze trochę w IV-VI. Jeśli wtedy uczeń trafi na nauczyciela, który odpowiednio ustawi jego spojrzenie na matematykę, wygrywa.

Później już się nie da nic zrobić?

- Potem są nawyki, których trudno się pozbyć. To jak z jeżdżeniem na nartach czy graniem w tenisa. Jeśli nabierzemy złych nawyków, jest ciężko.

Czego dzieci uczą się w pierwszych klasach?

- Najczęściej matematyka jawi się im jako nauka o liczbach i procedurach korzystania z tych liczb. Nauczyciel mówi: naucz się tabliczki mnożenia, naucz się rachować. Ważny jest wynik, powinieneś to robić tak, jak ja ci pokazuję, bo tak jest najwygodniej. Trudno się po takim treningu spodziewać, by potem uczeń patrzył twórczo na problemy matematyczne. Będzie się raczej skupiał na przypominaniu procedur i jak je zapomni, będzie bezradny. A nawet jeśli zapamięta procedurę, to w sytuacji wymagającej innowacji nie powoli mu ona wyjść poza schemat.

Jak więc uczyć twórczo?

- Pokazywać zależności, pozwalać na umysłowe eksperymenty, doświadczać. Oglądać problem z różnych stron. Zadanie matematyczne nigdy nie powinno być zamknięte, tj. powinno mieć na lekcji jakiś dalszy ciąg. Np. nie tylko uczyć wzoru na średnią arytmetyczną, ale też tego, jak ona działa. Co się stanie, kiedy zwiększy się liczba składników, z których liczymy średnią? Albo gdy jeden z tych składników będzie dwa razy większy?

By to robić, trzeba swobodnie się poruszać po matematyce. Nauczyciele wczesnoszkolni tego nie potrafią.

- Bo nie są matematykami. Wybierają edukację początkową, bo uważają się za humanistów, nie lubią matematyki i się jej boją. Są przygotowani do pracy z dziećmi pedagogicznie, ale nie metodycznie.

Gdzieś na świecie jest lepiej?

- Ten pierwszy etap edukacji w niewielu krajach działa lepiej. Może w Finlandii, Holandii, w niektórych ośrodkach w USA. Także w Japonii uczy się dobrze matematyki, ale to kwestia mentalności tego kraju i w ogóle kultury nauczania, która jest skrajnie różna od naszej.

A taka Wielka Brytania?

- O, tam jest gorzej niż u nas! Tam do końca klasy szóstej matematyki może uczyć niematematyk! Oni zresztą stopniowo i małymi kroczkami zepsuli swój, całkiem niezły system edukacyjny. Zbyt często wchodziły zmiany podstawy programowej, przez to brakuje spójnej myśli w nauczaniu matematyki biegnącej od klasy pierwszej do końca.

Nie próbują tego naprawić?

- Próbują. Sprowadzili na przykład nauczycieli z Sznaghaju, bo tam dzieci uzyskują dobre wyniki na egzaminach. Swoją drogą uzyskuje się to fatalnymi metodami: jest jeden podręcznik, jedne ćwiczenia, w danym momencie w całym Szanghaju w każdej klasie uczy się tego samego, dzieci są trenowane. Ale inna jest mentalność. No i nie da się tego przenieść do Europy. Ale Brytyjczycy jednak bardzo by chcieli coś z tego do siebie przenieść

...dyscypilnę?

- Ten podręcznik. Bo on jest przemyślany, konsekwentny. Spójny. Dlatego w Wielkiej Brytanii zawiązało się stowarzyszenie nauczycieli matematyki, którego celem jest odnowa podręczników do tego przedmiotu.

Wróćmy do Polski. Czego najbardziej brakuje w uczeniu naszych dzieci?

- Orientacja przestrzenna - z tym jest bardzo ciężko, a tę umiejętność należy kształtować już od pierwszej klasy. Badania pokazują, że ci, którzy sobie z tym lepiej radzą, odnoszą w dorosłym życiu większy sukces zawodowy. Bo orientacja przestrzenna uczy myślenia, kojarzenia faktów, wiązania różnych informacji, wymaga analizy i zadawania sobie pytań. Tu nie ma miejsca na algorytmy, jest za to ogromna przestrzeń na otwarte rozważania matematyczne.

Jak jej uczyć?

- Dzieci muszą manipulować przestrzenią, figurami. Obserwować, od czego zależy np. objętość jakiegoś naczynia. Tylko od jego wysokości czy może są jeszcze jakieś zmienne? Muszą się uczyć przekształceń przestrzennych przez budowanie według płaskiej instrukcji. Proszę zobaczyć, przygotowuję teraz zadania na szkolenie dla nauczycieli. Chcę ich na przykład zapytać, jak obliczyć objętość kartonu mleka, który jest trochę ścięty, więc nie jest idealnym prostopadłościanem.

No jak?

- Przez przyglądanie się i manipulację rzeczywistymi modelami. Pomyślmy, jak inaczej można patrzeć na ten ścięty karton? Czego mu brakuje, by go dopełnić do regularnego kształtu? Ta brakująca część to graniastosłup, a jak znamy jego podstawę i wysokość, to potrafimy już policzyć objętość. Czasem lepiej skupić się na tym, czego brakuje, a nie na tym, co jest.

Dla dzieci to trudne.

- Oczywiście, małe dzieci w ogóle mają kłopot z przyjęciem innego, cudzego punktu widzenia. Dlatego trzeba im organizować jak najwięcej takich doświadczeń. Budować z nimi różne figury, oglądać je z rozmaitych stron, obracać je, podświetlać, wypełniać wodą, kaszą, piaskiem.

Dlatego uważam, że geometrii powinno się zaczynać uczyć od figur przestrzennych - te płaskie są bardzo nienaturalne.

Tymczasem pierwsza klasa to pół roku monografii liczb. Dzieci uczą się do znudzenia działań w zakresie dziesięciu i zwykłej kaligrafii liczb.

- I tracą czas. One często przychodzą do szkoły już z umiejętnością niezłego liczenia, choć nie umieją tego zapisać. Ale czy muszą? Może lepiej ćwiczyć z nimi liczenie w pamięci, a zapisywanie działań robić równolegle albo dopiero potem? Dzieci z dużą ciekawością podchodzą do liczb. Wykorzystajmy to. Wprowadzenie działań pisemnych to naprawdę delikatny moment.

Może są w ogóle niepotrzebne w epoce kalkulatora?

- Uczą mnóstwa pożytecznych umiejętności: przy mnożeniu i dzieleniu ćwiczą rachunki pamięciowe, ogarnianie liczb, wyobrażanie ich sobie, np. ile razy jedna mieści się w drugiej. Także umiejętności szacowania i analizowania, czy wynik ma sens. Licealiści nie pamiętają już dzielenia pisemnego, ale mają to wszystko, czego nauczyli się przy okazji. Jednak uczenie działań pisemnych niesie niebezpieczeństwo, że utkniemy w algorytmach. Trzeba to robić ostrożnie. Dobrze myślał o tym słynny polski matematyk.

To on się zajmował uczeniem dzieci?

- Pisał podręczniki szkolne, bo był hazardzistą i przetracił pieniądze Towarzystwa Matematycznego. Musiał dorabiać. Ale to były świetne książki. Gdy w podręczniku dla klasy piątej wprowadzał mnożenie pisemne, zaraz obok pisał: "A teraz o tym zapomnij". W niektórych sytuacjach w ogóle tego nie używaj - np. kiedy mnożysz przez 19, pomnóż w pamięci przez 20 i odejmij. Tego typu rachunki warto ćwiczyć. Dlatego nie szkoda czasu na liczenie z dziećmi wspak. I to nie tylko co jeden, ale co dwa, co trzy. One szybko nabierają sprawności. A przy okazji śmiałości w wycieczkach do świata liczb. Nie chodzą ciągle tymi samymi dróżkami. Mają dużo większą śmiałość w patrzeniu na liczby, nie mają później strachu przed rachunkami algebraicznymi.

Pan widzi taki brak pewności siebie u uczniów?

- Widać go dobrze przy okazji głównych progów w nauczaniu matematyki: ułamków zwykłych i rachunku algebraicznego. Bez umiejętności poukładania sobie liczb w pamięci te progi są bardzo trudne do pokonania.

Jeśli nie potrafię posługiwać się prawem rozdzielności, to rachunek algebraiczny jest trudny. Powinienem wcześniej się nauczyć, że gdy mnożę 42 przez 20 to znaczy, że mogę pomnożyć razy 2 i razy 10. Mogę też liczbę rozdzielić na 40+2 i pomnożyć przez 20. Ważne, by to robić na różne sposoby. Gdy dziecko ma w głowie ukształtowane struktury rachunkowe, to przeskoczenie na literki przyjdzie mu z mniejszą trudnością.

Czyli matematykę trzeba po prostu poczuć?

- Jasne. Dotyczy to zwłaszcza osób, które nie będą matematykami, nie pójdą na politechnikę, ale będą matematyki potrzebować na co dzień. One potrzebują matematyki nie tak rozbudowanej, za to głębiej pojętej. Nie wystarczy, że się dowiedzą, że jak się dodaje ułamki, to trzeba je sprowadzić do wspólnego mianownika i dodać liczniki. One powinny czuć ułamki, czyli umieć trochę więcej niż same procedury dodawania.

Jak poczuć ułamki?

- Czuć, co to znaczy, że coś jest częścią całości. Co się zmienia, jak w zapisie ułamka zwiększamy mianownik. To powiązanie z myśleniem proporcjonalnym - jeśli połowa czegoś to jest tyle, to ile będzie jedna czwarta? A jedna szósta? By tego doświadczyć, trzeba poznać ułamki nie tylko w zapisie rachunkowym, ale i w czynnościach fizycznych, związanych z życiem. Przecież one są obecne nawet wtedy, gdy rozstrzygamy problemy pozornie w ogóle z nimi niezwiązane.

Na przykład?

- Jeśli jadę z prędkością 120 km na godz. na autostradzie, to jak daleko zajadę przez 20 minut? Nie trzeba wzoru rozpisywać. 20 minut to 1/3 godziny, to też 1/3 z tych 120. Na tym polega głębsze rozumienie ułamków. I można to zrobić na poziomie szkolnym. Nie tylko przez zadania, ale też przez sytuacje, które się dzieciom stwarza. One nie powinny się uczyć reguł tylko z tablicy, ale przede wszystkim poprzez własne działanie.

Sztuką jest zorganizować takie działanie.

- Trzeba iść za dziećmi, za ich ciekawością. To jeden z najważniejszych punktów - niezależnie od tego, czy to się mieści w planie lekcji. Jeśli się lekcję zmodyfikuje w ślad za dzieckiem, to stanie się rzecz wielka, nic nie stracimy.

To jak się w Polsce uczy tej matematyki?

- Myślę, że jest sporo do zrobienia - zwłaszcza na pierwszym etapie edukacyjnym. Ale nie jest wcale najgorzej w porównaniu z innymi krajami. Jest na czym budować.

*Marcin Karpiński - dydaktyk matematyki, pracownik Fundacji Dobrej Edukacji, gdzie odpowiada za szkolenie tutorów matematyki. Pracował w IBE. Redaktor naczelny czasopisma "Matematyka w Szkole". Współautor programów nauczania matematyki, podręczników i zbiorów zadań dla szkoły podstawowej, gimnazjum i liceum. W 2001 roku członek zespołu opracowującego podstawę programową matematyki dla szkół ponadgimnazjalnych. W roku 2008 członek zespołu przygotowującego nowa podstawę programową matematyki dla wszystkich etapów edukacyjnych. Od 2010 roku uczestniczy w pracach związanych z projektem PISA.



Matematyka się liczy

Zapraszamy do kolejnej edycji naszej akcji społecznej "Matematyka się liczy". Pokażemy najnowsze metody w dydaktyce matematyki, światowe trendy i idee, które warto zaszczepić w polskiej szkole. Chcemy, by budziła w uczniach twórcze, otwarte myślenie, pielęgnowała ich naturalną chęć odkrywania. Postaramy się też pomóc rodzicom, by wiedzieli, czego powinni oczekiwać od szkoły i jak mogą wesprzeć edukację swojego dziecka.

Akcję prowadzimy z mFundacją, której misją jest wspieranie programów służących podnoszeniu poziomu edukacji i jakości życia społeczeństwa.

Więcej: Wyborcza.pl/matematykasieliczy